Question

这是一个采访问题（我在论坛上看到它并且无法找出最佳解决方案）。问题是来自给定的一组数字找到最短的路径。

例如

Set A - [2, 14, 34]
Set B - [9, 13]
Set C - [15, 22, 62, 78]
Set D - [16, 24, 54]
Set Z - [17, 38, 41]

1）可以有任意数量的集合

2）套装内的数字永远不会重复。

3）数字可以从任何开始到任何结束（它们不在0 - n之间，即它可以从1091到1890等开始）

4）所有集合都已排序。

在上面的示例中，路径为：

B[13] -> A[14] -> C[15] -> D[16] -> Z[17]

最短路径定义为MAX数（17） - MIN数（13）= 4;

之间的差值

有什么想法吗？

Answer 1

制作成对列表[number，name_of_set]。对它进行排序。

对于给定长度的路径，D，扫描已排序的列表，保留2个指针。始终增加第一个指针，并在扩展大于D时增加第二个指针。扫描时，保持属于每个集合的指针之间的元素计数。如果每个集合中有元素，宾果游戏，你找到了一条差异最大的路径。

现在，二进制搜索D。

总体复杂度O（N log N）

Answer 2

堆（优先级队列）可能会有所帮助。

合并将所有数据排序为数组N，同时保留原始集合ID，假设总共有m组;
int shortest = MAX（N） - MIN（N）; //即N [N.length - 1] - N [0]
初始化堆h;
使用i循环N，如果h不包含与N [i]相同的元素，则将N [i]添加到堆中;如果h已经包含来自同一组的元素，比如h [k]，则将h [k]的键增加到N [i]。如果h.size（）== m，则shortest == N [i] -h [0]＆lt;最短的？ N [i] - h [0]：最短。

这是代码：

mergesort(all_sets[], H, S); // H holds all data, S holds corresponding setid.
Heap<key, setid> H = new Heap<key, setid>();
int shortest = N[N.length - 1] - n[0];
for(int i = 0; i < N.length; i++)
{
   int data = N[i];
   int setID = S[i];
   int hindex = H.elementFromSet(setID);
   if(hindex < 0)
    { // H does not have any element from set with setID;
       H.add(data, setID);
    } else {
       H.increase(data, hindex);
    }
    if(H.size() == m)
    {
       shortest = shortest > N[i] - H[0]? N[i] - H[0] : shortest;
    }
}

也许我可以使用哈希表来跟踪set id到堆索引。

运行时我认为 O（nlgm）。

Answer 3

取A组和B组。找到此集合中的最短路径。这将是14-13。现在对它进行排序，使其变为13-14。现在短集短= {13,14}
选择短集{13,14}并设置C {15,22,62,78}。现在，起始节点为13，短节点中的结束节点为14。从端节点14开始，最短可到达路径是15。所以将15添加到短集。现在短集变为{13,14,15}，对其进行排序以使其保持{13,14,15}
现在选择短集{13,14,15}并设置D {16,24,54} 短集中的结束节点是15.所以我们从那里开始。现在从25到D的最短路径是16.因此在短集合中加16。现在短集变为{13,14,15,16}。解决。它仍然是{13,14,15,16}

3。我们可以对整个集合重复这一点，以得到结果的短集。

Answer 4

您可以应用与我描述的算法in this question基本相同的想法。

让我们寻找最后一个子集的中心。它必须最小化到每个组的最大距离。像往常一样，点到集合的距离定义为点与集合元素之间的最小距离。

对于每个集合i，描述到集合距离的函数fi是分段线性的。如果a，b是两个连续的数字，则关系fi(a) = 0, fi((a+b)/2) = (b-a)/2, fi(b) = 0让我们在线性时间内构建所有fi的描述。

但我们也可以通过考虑线性时间的连续区间[a，b]来计算线性时间内两个分段函数fi和fj的最大值：结果是线性的，或者通过将函数的唯一交叉点添加到分区来分段线性。由于函数的斜率总是+1或-1，因此交点是半整数，因此可以用浮点（或定点）算法精确表示。

凸性参数显示所有g的最大fi最多只能获得fi的两倍，所以我们不必担心最多具有多个点数，这些点在集合数量中呈指数级。

所以我们只是：

计算fi的分段线性距离函数i = 1..p。
通过重复计算最大值来计算所有g的最大fi。
g的任何最小点的位置是所需的中心。
对于每一组，选择距离中心最近的点。
我们选择的点集的宽度恰好是g的最小值： - ）

如果集合数量有限，复杂度为O（ N ），如果集合数量 p ，则复杂度为O（ N p ）是可变的。通过聪明地计算你如何计算最大值（分而治之），我认为你甚至可以将它减少到O（ N log p ）。

Answer 5

这是问题的另一种表述。

问：找出包含所有集合中元素的最小间隔。

答：

将所有元素放在一个存储桶中并对其进行排序。复杂度O（N * K）
我们将找到最大的数字，使得每个集合中至少有一个元素通过二进制搜索高于此数字。这将是MIN。
类似地，找到最小的数字，使得每个集合中至少有一个元素通过二分搜索小于该数字。这将是MAX。

作为优化，您可以将每个集存储为间隔，并在步骤2和3中使用间隔树进行查询。这样，查询复杂度从O（K）变为O（log K）

多集最短路径算法

5 个答案: