找到覆盖图中所有链接所需的最小生成树数的上限

Question

我的问题：

设G（V，E）为完全连通的图，其中V是节点集，E是链路集。 如果生成树按字典顺序排序，那么覆盖图中所有链接所需的最小生成树数量的上限（最差情况）是多少？

例如，对于| V | = 4，因而| E | = 6，G（V，E）包含以下16个生成树（以lexicograhic顺序）;请注意，以不同方式标记链接可能会产生不同的生成树顺序。

1 2 3

1 2 4

1 2 6

1 3 4

1 3 5

1 3 6

1 4 5

1 5 6

2 3 4

2 3 5

2 4 5

2 4 6

2 5 6

3 4 6

3 5 6

4 5 6

在这种情况下，覆盖图中所有链接所需的最小生成树数 将是5棵生成树（{1 2 3}，{1 2 4}，{1 2 6}，{1 3 4}，{1 3 5}）。因此，所有链接都包含在这5个生成树中。

很容易计算小图形的生成树数量，但我对较大尺寸的图形有问题，例如| V |＆gt; 4.

是否有任何公式可以计算生成树的上限数以覆盖图中的所有链接？

非常感谢

Answer 1

在任何MST中都有V-1个边缘，以及（V）（V-1）/ 2个总边缘。所以下限是上限（V / 2）。

我认为这也是一个精确的界限。

你应该能够找到“一个”MST的组合，这些MST在最后的步骤之前不会重复使用其他边缘。考虑找到MST，删除那些边缘，并保持连接的简化图形，以便可以嵌入新的MST，而不会破坏连接。