Question

我正在进行一些数字运算，这需要高精度算术。我正在使用GNU MP库，according to the GMP manual：

“浮点数或简称浮点数，是一个精度指数有限的任意精度尾数。”

虽然尾数应该具有任意精度，但我仍然遇到精度问题。而不是让我厌倦了我的实际代码，这是一个近乎最小的工作示例，说明了我的问题。代码计算9.3 ^ 15,9.8 ^ 15和（9.3 * 9.8）^ 15。在我的机器上，（9.3 ^ 15）*（9.8 ^ 15）和（9.3 * 9.8）^ 15的值开始与第16位开始不同，在这种情况下会导致（大约）4.94 *的误差10 ^ 13。

任何帮助将不胜感激。代码如下。

#include <gmp.h>
#include <gmpxx.h>

#include <iostream>
#include <iomanip>

int main()
{
    mpf_class x, y, z;
    x = y = z = 1.0;

    for (int i = 0; i < 15; i++)
    {
        x *= 9.3;
        y *= 9.8;
        z *= 9.3*9.8;
    }

    std::cout << z - x*y << std::endl;

    return 0;
}

Answer 1

您看到的问题是由于9.3 * 9.8的计算约。请将文字更改为mpf_class的实例：

mpf_class a, b;
a = 9.3;
b = 9.8;

// ...

x *= a;
y *= b;
z *= a * b;

如果您需要无限精度，请考虑使用有理数：

#include <gmp.h>
#include <gmpxx.h>

#include <iostream>
#include <iomanip>

int main()
{
    mpq_class x(1), y(1), z(1), a(93, 10), b(98, 10);

    for (int i = 0; i < 15; i++)
    {
        x *= a;
        y *= b;
        z *= (a * b);
    }

    std::cout << z - x*y << std::endl << z << std::endl;

    return 0;
}

打印

0
7589015305950762920038660273144124106674963183136666693/30517578125000000000000000

Answer 2

问题是你没有明确地设置精度，所以你得到默认的精度，通常（我认为）是64位，因此结果在最后一位有所不同，因为不同的舍入方式不同计算。这使得大约20个数字成为公共前缀（随着更多计算，差异可能会变得更大）。如果设置更高的精度，

#include <gmp.h>
#include <gmpxx.h>

#include <iostream>
#include <iomanip>

int main()
{
    mpf_class x(1.0,200), y(1.0,200), z(1.0,200), a("9.3",200), b("9.8",200), c(0,200); 
    c = a*b;

    for (int i = 0; i < 15; i++)
    {
        x *= a;
        y *= b;
        z *= c;
    }

    std::cout << z << "\n" << (x*y) << std::endl;
    std::cout << z - x*y << std::endl;

    return 0;
}

200位，您可以获得更准确的结果：

$ ./a.out 
2.48677e+29
2.48677e+29
-4.80637e-49

所以大约80个十进制数字的公共前缀，或接近256位（64的最大倍数大于199）。

精度为2000时，字符串构造函数的差值为-2.78942e-588，如果从double初始化则为0（但当然，初始精确度限制为53位，因此意味着两种方式都以相同的方式累积错误。）

GNU MP Bignum库的数值问题

2 个答案: