Question

我有一个计数算法，我试图获得一般的大概描述。它是可怕的嵌套和可怕的指数。这是：

 1. For each T_i in T
 2. For k = 1 to max_k
 3. For each of 2^k*(n choose k) items
 4. For each t in T_i
 5. check if the item is in t...etc.

以下是每个运行时间的逐行概念

这是一个简单的分区，我只想给它一个常数c1。
max_k是一个小数字，总是小于n，可能大约4或5.我将使用下面的k。
此循环始终运行2 ^ k *（n选择k）次
通过考虑第1行常量，我们可以推广这一行，并且知道在最坏的情况下它总是不会超过2 ^ n次，但通常会运行2 ^ n次，所以我们称之为（2 ^ N）/ C2
这是所有这些循环中的简单if语句操作，所以c3。

将所有这些相乘得出：

c1 * k * 2^k * (n choose k) * (2^n)/c2 * c3

由于我想要一个大O表示，忽略常量给出：

k * 2^k * (n choose k) * (2^n)

众所周知，（n选择k）以（n * e / k）^ k为界，因此：

O(k * 2^k * (n * e / k)^k * (2^n))

我的问题是，我在这里可以忽略什么...... 2 ^ n当然是主导术语，因为n总是大于k，通常更加如此。这可以简化为O（2 ^ n）吗？或者O（2 ^可怕）？或者我应该留在2 ^ k，如在O（2 ^ k * 2 ^ n）？（或保留所有条款？）

我的理解是，如果k或max_k可以竞争或超过n，那么它们是至关重要的。但由于它们总是占主导地位，它们能否像多项式运行时间的低阶项一样被丢弃？我想所有指数运行时间的混乱让我感到困惑。非常感谢任何建议。

Answer 1

我的理解是，如果k或max_k可以竞争或超过n，那么它们至关重要

是的，但另一种方式不是 - 意思是 - 当涉及到大O符号时，它是不可忽视的，即使它不与n竞争。 只有当max_k以常数为界时才会被忽略（有一个常数c，使k <= c）。例如 - O(n * logk)算法不是O(n)，因为k因子没有界限，因此存在k，nlogk > c*n为每个常数c

由于您获得的表达式是一个产品，因此您可以忽略的只是常量，在您的情况下 - 只有e才能获得O(k*2^k * (n/k)^k * 2^n)。

如果k 有界，那么您可以将其从表达式中删除，也可以使用大O表示法，然后您将获得O(n^k* 2^n)。请注意，即使在这种情况下，虽然n^k << 2^n仍然无法忽略，因为对于每个常量c，存在一些n，使得c*2^n < n^k *2^n，因此算法不是{{1}一个。

在添加时可以忽略较小的因素。如果O(2^n)然后是k < n，因为有一个常量O(n + k) = O(n)，对于所有c,N：n > N，但在处理产品时当然不是这样

简化这种指数算法的Big-O复杂性

1 个答案: