放置一个点以最小化距离最远点的距离

Question

我有一个问题，

给定一组点，如何设置一个点，使得距离最远点的距离尽可能小？

这是针对this问题。我不知道该怎么办。有人指点吗？

由于

Answer 1

您需要使用Voronoi diagram，可能是Farthest-Point Voronoi图，其中平面被划分为区域，其中同一区域中的点具有相同的fartherst点

<强>更新

首先需要构建一个Farthest-Point voronoi图，即O（nlogn）时间，并找到所有顶点中最小圆的中心（如果圆由三个点定义）和所有边（如果圆由两点定义）。此方法的总时间复杂度为 O（nlogn）

我刚看到Smallest circle problem维基页面，似乎有一个 O（n）时间算法。如果您关心速度，可以查看它，否则不要介意。

Answer 2

查看此页面。它描述了几种方法。 http://www.personal.kent.edu/~rmuhamma/Compgeometry/MyCG/CG-Applets/Center/centercli.htm

_{如果上面的链接死了，这里是描述最直接方法的相关部分：}

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一个O（n2）时算法

1. 在中心绘制一个圆圈，c，使得给定集合的点位于圆圈内。显然，这个圆圈可以做得更小（或者我们有解决方案）。
2. 通过找到距离圆圈中心最远的点A，并绘制一个具有相同中心并通过A点的新圆圈，使圆形变小。这两个步骤产生一个较小的圆圈。新圆圈较小的原因是这个新圆圈仍然包含给定集合的所有点，除非它现在通过最远点x，而不是封闭它。
3. 如果圆圈经过2个或更多点，请继续执行步骤4.否则，通过将中心移向A点使圆圈变小，直到圆圈与该组中的另一个B点接触为止。

4. 在这个阶段，我们是一个圆圈，C，它穿过给定集合的两个或多个点。如果圆的圆弧间隔（无点间隔）大于圆的圆周的一半，没有任何点，圆可以做得更小。设D和E为该无点间隔末端的点。在将D和E保持在圆的边界上时，减小圆的直径，直到我们有（a）或（b）的情况。

   • 案例（a）直径是距离DE。
     • 我们完成了！
   • 案例（b）圆圈C触及集合中的另一个点F.
     • 检查是否存在长度超过C周长的一半的无点弧间隔。
     • 如果没有这样的无点弧间隔退出那么 我们完成了！
   • 否则
     • 转到第4步。
     • 在这种情况下，三个点必须位于长度小于圆周一半的弧上。我们在弧上三个点的外两个上重复步骤4。

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这里的另一个页面，带有一个示例applet： http://www.sunshine2k.de/stuff/Java/Welzl/Welzl.html