浮点计算和舍入

Question

我想我在某处读到了cpu的“以50位进行一些浮点计算，以便它们可以正确地向下舍入到32位”。我认为这意味着在上述浮点运算中计算的中间值以50位计算，从而可以实现“正确舍入到浮点大小”。

这句话是什么意思？这是真的吗？如果是这样，你能指点一些资源来解释为什么他们需要计算18个额外的位吗？为什么不是19或17？或者它只是假的？

编辑： - 我发现此链接非常有用且详尽无遗... http://www.gamasutra.com/view/news/167402/Indepth_Intermediate_floatingpoint_precision.php

感谢

Answer 1

我不能以任何方式保证它，但我猜你遇到的是53位而不是50位。他们使用53位的原因是因为这是下一个标准尺寸的浮点类型。在IEEE 754标准中，最小类型总共为32位。下一个大小为64位，具有53位有效数字（也就是尾数）。由于他们已经拥有专门处理该大小的硬件，因此最简单（在大多数情况下）以该大小进行计算，然后舍入到较小的大小。

Answer 2

在现代计算机上常见的是，双精度计算（1个符号位，11个指数位，52个显式有效位）与单精度计算一样快（1个符号位，8个指数位，23个有效位） ）。因此，当您加载浮动对象，计算和存储浮动对象时，编译器可以将浮点值加载到双精度寄存器中，以双精度计算，并存储单精度结果。通过以极低的成本提供额外的精度，您将从中受益。结果可能更经常“正确舍入”（返回的结果是最接近数学上精确结果的可表示值），但这不能保证（因为仍有舍入误差，可以以意想不到的方式进行交互）或者可能更准确（更接近于浮点计算所提供的确切结果）（但也无法保证），但在极少数情况下，双精度计算可能会返回比单精度计算更差的结果。

有时双精度比单精度更昂贵，特别是在执行SIMD编程时。

通常，高级语言让编译器可以自由决定如何评估浮点表达式，因此编译器可以使用单精度或双精度，具体取决于供应商的选择（或编译器的质量），优化和您已传递给编译器的目标开关，正在编译的代码的其他方面（例如，计算机中的计算机寄存器的可用性），以及可能随机用于实际目的的其他因素。所以这不是你可以依赖的行为。

你所听到的另一个意思可能是单精度函数的库例程，例如sinf或logf，可以用双精度编写，这样他们就可以比他们更容易获得所需的结果完全以单精度编写。这很常见。但是，这些库例程是由专家小心编写的，他们分析了计算过程中可能出现的错误，因此不仅仅是假设更多的位会产生更好的结果。

Answer 3

这与epsilon值有关。例如，采用经典的0.1 + 0.2问题：http://0.30000000000000004.com/

在大多数语言中，0.1 + 0.2！= 0.3。这是因为虽然0.1和0.2在基数10中终止小数，但在基数2中，0.1看起来像0.0001100110011 ...而0.2看起来像0.001100110011 ......所以这意味着当你将两个值加在一起时，你会得到一个重复的二进制当你获得无限精度时，数字接近0.3，类似于如何 0.333333333 ... + 0.33333333 ....随着越来越精确，接近2/3。

就18个额外位与19个额外位的原因而言，这是一个更复杂的讨论。有关详细信息，请参阅http://en.wikipedia.org/wiki/Machine_epsilon。