Question

我遇到了一个问题，要求在二维坐标平原上找到从第1点到第2点的独特方式。

注意：可以假设x1 < x2和y1 < y2而不失一般性。

此外，动作受到以下方式的限制。一个人只能向右或向上移动。表示如果(xa, ya)和(xb, yb)，则有效移动从xa < xb到ya < yb。

数学上，这可以通过( [(x2-x1)+(y2-y1)]! ) / [(x2-x1)!] * [(y2-y1)!]找到。我也想过代码。

我有使用动态编程编码的方法，我的方法需要大约O([max(x2,y2)]^2)时间和Theta( x2 * y2 )，我可以使用上三角矩阵或下三角矩阵进行管理。

您能想到其他一些运行时间少于此的方法吗？我正在考虑递归解决方案，其最短运行时间为O(max(x2,y2))。

Answer 1

一个简单有效的解决方案是数学解决方案。

允许x2-x1 = n和y2-y1 = m。
您需要向右迈出n步，m步骤，所有剩下的就是确定他们的顺序。

这可以建模为具有n+m个元素且精确n个元素设置为1的二进制向量的数量。
因此，可能性总数为chose(n,n+m) = (n+m)! / (n! * m!)，这正是你得到的。

鉴于数学答案已得到证实并且计算速度更快 - 我认为没有理由使用具有这些限制的不同解决方案。

如果你渴望在这里使用递归，recursive formula for binomial coefficient可能会很适合。

修改您可能正在寻找multiplicative formula来计算它。

Answer 2

要计算答案，您可以使用以下公式：

(n+m)!/(n!m!)=(n+1)*(n+2)/2*(n+3)/3*…*(n+m)/m

所以伪代码是：

let foo(n,m) =
  ans=1;
  for i = 1 to m do
    ans = ans*(n+i)/i;
  done;
  ans

乘法和除法的顺序很重要，如果修改它，即使结果不是很大，也会有溢出。

Answer 3

我终于设法撰写文章来详细描述这个问题并完成答案。这是相同的链接。 http://techieme.in/dynamic-programming-distinct-paths-between-two-points/

Answer 4

试试这个公式：

ans = (x2-x1) * (y2-y1) + 1;