如何找到三角形的第三个坐标

Question

这不是作业。我们正在尝试在项目的圆圈之间建立双连接线。

给定任何类型的三角形（因为它将被旋转）

• AB已知
• AC已知
• BC知道哪里
• AB等于BC（它们都是圆的半径）

A点是（x1，y1）并且是已知的。它是圆的中心点。 B点是（x2，y2）并且是已知的。它是圆的边缘上连接到远程圆的中心的点。

C点未知（x3，y3），正是我们想要弄清楚的。我认为我们需要使用余弦定律，但到目前为止它还没有成功。

感谢任何可以提供帮助的人！

Answer 1

你获得答案所需的信息比你需要的更多，而且与余弦定律无关

基本上你只需要A，B，AC和BC

1. 您绘制一个圆圈，以A为中心，AC为边缘

2. 您绘制另一个圆圈，以B为中心，BC为边缘

这两个圆圈将有两个相交点，它们是C

的两个可能位置

把它放在数学中：

你有两个二元二次方程：

• （x-x1）^ 2 +（y-y1）^ 2 = AC ^ 2
• （x-x2）^ 2 +（y-y2）^ 2 = BC ^ 2

你需要从这两个方程得到（x，y）

Answer 2

你可以使用余弦定律，因为你知道三角形（AB），（BC）和（AC）三边的长度。余弦定律表明

(BC)^2 = (AC)^2 + (AB)^2 - 2 (AC)(AB) cos theta

其中theta是顶点A处三角形的内角。重新排列为

theta = acos(((BC)^2 - (AC)^2 - (AB)^2)/(-2 (AC)(AB)))

然后你的回答是（用向量表示法）：

(x,y) = (x1,y1) + (AC)*(v1,v2)

其中(v1,v2)是从A到C的方向上的单位向量。（即，标量符号，x=x1+(AC)*v1和y=y1+(AC)*v2）。我们可以通过将单位矢量从A旋转到B以角度θ：

来获得v1和v2

v1 = (cos(theta)*(x2-x1) + sin(theta)*(y2-y1))/(AB)
v2 = (cos(theta)*(y2-y1) - sin(theta)*(x2-x1))/(AB)

翻转theta的标志以获得两个解决方案中的另一个。

请注意，可以通过观察：

来避免计算theta

cos(theta) = ((BC)^2 - (AC)^2 - (AB)^2)/(-2 (AC)(AB))
sin(theta) = sqrt(1-((BC)^2 - (AC)^2 - (AB)^2)/(-2 (AC)(AB))^2)

可能比三角函数更快地评估。