我一直在阅读有关浮点数和计算机处理的浮点运算的很多内容。我在阅读它们时看到的最大问题是它们为什么如此不准确？我理解这是因为二进制不能准确地表示所有实数，所以数字四舍五入到“最佳”近似值。
我的问题是，知道这一点，为什么我们仍然使用二进制作为计算机操作的基础？当然使用比2更大的基数会以指数方式提高浮点运算的准确性，不是吗？
对于计算机而不是另一个基础使用二进制数系统有什么好处，并且有另一个基础曾经尝试过吗？或者甚至可能吗？
答案 0 :(得分：37)
首先：即使使用say，100，你也不能代表所有实数。但是你已经知道了。无论如何，这意味着：由于“无法代表所有实数”，因此不准确。
现在让我们谈谈“ 什么可以在做数学时为你带来更高的基础？”：更高的基数带来了'nothing'精度方面。为什么呢？
如果你想使用base 4，那么一个16位的base 4数字恰好提供4个 16 不同的值。
但是您可以从32位基数2 （2 32 = 4 16 ）获得相同数量的不同值。< / p>
另一个答案已经说过：晶体管可以开启或关闭。因此，您新设计的基本4寄存器需要是（基数2）ON / OFF'位'的抽象。这意味着：使用两个“位”表示基数为4的数字。但是，你仍然通过花费N'位'（或N / 2个基数为4位）来获得正好2 N 的水平。 您只能通过花费更多位来获得更高的准确度，而不是通过增加基数。您想象/抽象的基数（例如printf如何在基数10中打印这些基数2）实际上只是抽象而非精确的问题。
答案 1 :(得分：23)
计算机基于晶体管，具有“开启”状态和“关闭”状态。这对应于高压和低压。几乎所有数字集成电路都以这种二进制方式工作。
忽略晶体管只是简单地以这种方式工作的事实，使用不同的基极（例如基极3）将需要这些电路在中间电压状态（或几个）以及0V及其最高工作电压下工作。这更复杂，并且可能导致高频问题 - 如何判断信号是在2V和0V之间转换，还是实际在1V？
当我们进入浮点水平时，我们（正如他们在答案中提到的那样）将无限的数字空间映射到有限的存储空间。绝对保证我们会失去一些精确度。但是，IEEE浮点数的一个优点是精度与值的大小有关。
更新：您还应该查看{3}}，这是一个三元计算机模拟器。它使用base-3而不是base-2，这使得一些有趣的（虽然令人费解）概念。
答案 2 :(得分：11)
我们实质上是将有限空间映射到无限的实数集。所以它无论如何都不是基地的问题。
选择Base 2，就像Polynomial所说，出于实现原因，因为它更容易区分2个能量级别。
我们要么投入更多空间来表示更多数字/增加精度，要么限制我们想要编码的范围，或者它们的混合。
答案 3 :(得分：6)
你的第一段是有道理的，但第二段是非选票。较大的基数不会对精度产生影响。
数字的精确度取决于用于它的存储量 - 例如16位二进制数与2 x 256基数具有相同的精度 - 两者都占用相同数量的信息。
有关详细信息，请参阅Usual floating point reference.，并将其推广到所有基础。
是的计算机是使用其他基础构建的 - 我知道那些使用基数10（十进制）cf wikipaedia
答案 4 :(得分：6)
它可以从可用的芯片区域获得最大收益。
如果使用开/关开关来表示数字，则每个开关的精度不能比使用基数2表示更高。这只是因为无论您选择这些值，N个开关都可以表示2 ^ N个数量。早期的机器使用基本的16个浮点数字，但是每个都需要4个二进制位，因此每位的总体精度与基数2相同（实际上由于边缘情况稍微减少）。
如果选择的基数不是2的幂，则精度显然会丢失。例如，您需要4位来表示一个十进制数字，但从不使用这4位中的6个可用值。这个系统被称为二进制编码的十进制，它仍然偶尔使用，通常在用钱进行计算时。
多级逻辑可以有效地实现其他基础，但至少对于当前的芯片技术，实现超过2个级别的结果非常昂贵。甚至量子计算机也在设计假设两个量子级：量子比特或量子比特。
世界和数学的本质是浮点情况无望的原因。有一个实数的层次结构整数 - ＆gt;理性 - ＆gt;代数 - ＆gt; Transendental。有一个很好的数学证明，Cantor对角化，大多数数字，即比其他集更“无穷大”，是Transdendental。然而，无论你选择什么浮点系统，仍然会有低级的理性数字，没有完美的表示（即基数为10的1/3）。这是我们的宇宙。没有多少聪明的硬件设计会改变它。
软件可以并且确实使用合理表示，将分子和分母存储为整数。然而，有了这些，你的程序员的双手都被束缚了。例如，平方根不是“关闭”。 Sqrt（2）没有理性的表示。
已经研究过代数数字代表和任意实数的“懒惰”代表，根据需要产生更多数字。这种类型的大多数工作似乎都是计算几何。
答案 5 :(得分：3)
是的，有的计算机使用的不是二进制（即基本2表示和aritmetic除外）： Decimal computers
计算系统的设计者已经研究了许多替代方案。但是很难找到一个在物理设备中实现的模型，而不是使用两个离散状态的模型。因此，从二进制电路开始，这种电路非常容易且便宜，可以构建并运行到具有复杂操作的计算机。简而言之，这就是二进制的历史。
答案 6 :(得分：1)
我不是EE，所以我在下面说的一切都可能是完全错误的。但...
二进制的优点在于它非常干净地映射以区分实际电路中的开/关（或更准确地说，高/低电压）状态。我认为，试图区分多个电压会带来更多的挑战。
如果量子计算机离开实验室，这可能会完全消失。
答案 7 :(得分：1)
使用二进制浮点数来表示数学实数有两个问题 - 好吧，可能存在更多问题，但暂时只有2个。
多年来，已经构建了具有基于具有超过2个状态的设备的电路的计算机。旧苏联开发了一系列具有三态设备的计算机，并且至少有一家美国计算机制造商同时提供使用10状态设备进行算术运算的计算机。
我怀疑二进制表示已经胜出（到目前为止）因为它很简单，无论是推理还是实现当前的电子设备。
答案 8 :(得分：0)
我投票表示我们转移到Rational数字系统存储。将评估为p / q的两个32位整数。乘法和除法将是非常便宜的操作。是的，会有多余的评估数字（1/2 = 2/4），但是真正使用64位双倍的全动态范围。
答案 9 :(得分：-2)
我既不是电气工程师也不是数学家，所以当我做出以下声明时，请考虑到这一点：
所有浮点数都可以表示为整数。