Question

我听说，在计算平均值时，start +（end-start）/ 2与（start + end）/ 2不同，因为后者会导致溢出。我不太明白为什么第二个会导致溢出而第一个不会导致溢出。实现可以避免溢出的数学公式的通用规则是什么。

Answer 1

假设您使用的计算机的最大整数值为10，并且您想要计算平均值5和7。

第一种方法（开始+（结束开始）/ 2）给出

5 + (7-5)/2 == 5 + 2/2 == 6

第二种方法（开始+结束）/ 2给出溢出，因为中间12值超过我们接受的最大值10并且“包裹”到其他东西（如果你使用无符号数字，它通常是回到零，但如果您的号码已签名，您可以获得负数！）。

12/2 => overflow occurs => 2/2 == 1

当然，在实际的计算机中，整数溢出的值很大，比如2 ^ 32而不是10，但这个想法是一样的。不幸的是，没有“通用”方法可以摆脱我所知道的溢出，这在很大程度上取决于您使用的是哪种特定算法。然后事件变得更加复杂。根据您使用的数字类型，您可以获得不同的行为，除了上下溢之外还有其他类型的数字错误需要担心。

Answer 2

你的公式都会溢出，但在不同情况下：

当(start+end)和(start+end)/2都接近范围同一侧的整数限制时，start公式的end部分会溢出（即均为正值）或两者都是否定的。）
当(end-start)为正且start+(end-start)/2为负数时，start公式的end部分会溢出，并且这两个值都接近可表示整数的各自末尾值。

没有“通用”规则，你可以根据具体情况进行操作：查看公式的部分内容，考虑可能导致溢出的情况，并想出办法避免它。例如，当您使用相同符号对值进行平均时，可以显示start+(end-start)/2公式以避免溢出。

这是艰难的方式;简单的方法是对中间结果使用更高容量的表示。例如，如果您使用long long代替int进行中间计算并仅在完成后将结果复制回int，则可以避免溢出，假设最终结果适合int。

Answer 3

在处理整数时，您可能会在采用此类策略时关注integer overflow。

请注意，使用公式b+(b-a)/2，您需要确保a <= b。否则，您可能会在可能的值范围的下限处得到相同的问题。想想a/2+b/2。然而，这种方法也存在其他缺点。

处理浮点数时会出现另一个问题，catastrophic cancellation。由于浮点表示的有效位数有限，添加大数字时精度会丢失（即使这只是一个中间步骤）。

要解决这个数值稳定性问题，例如可以使用此算法（稍微改编自wikipedia）：

def online_mean(data):
  n = 0
  mean = 0

  for x in data:
    n = n + 1
    delta = x - mean
    mean = mean + delta/n

  return mean

我不知何故觉得与你上面提到的公式存在关系......

Answer 4

在二进制搜索中，我们将编写以下代码：

if(start > end){
   return;
}
int mid = start + (end - start) / 2;

使用start + (end - start) / 2，我们可以避免@dasblinkenlight指出的问题

如果我们使用(start + end) / 2，它会溢出，如dasblinkenlight

所示