定向加权图走

Question

我有一个连接的定向加权图。边权重表示在顶点之间移动的概率;从顶点总和到一的所有边的权重。该图包含两个接收器：A和B.对于图中的每个顶点，我想知道起源的步行到达A的概率和B的相同概率。这是什么类型的问题？我该如何解决？

Answer 1

这个问题属于代数类型。对于从顶点开始的路径，到达A的概率是从每个相邻顶点到达A的概率的平均值，由边权重加权。让我们用更具体的术语来说明这一点。

让 P 成为图的邻接矩阵。也就是说， P _i，j 是从顶点 i 移动到顶点 j 的概率。设置 P _A，A = 1.如果我们将分配给每个顶点的概率向量乘以 P ，则得到的向量包含每个顶点的邻居的加权平均值。我们要找的是一个向量 v ，这样 P v = v 和 v _A = 1 。

此向量 v 是对应于特征值1的 P 的特征向量。 P 是否总是具有这样的特征值？幸运的是，Perron-Frobenius theorem告诉我们它确实存在，并且这是 P 的最大特征值。然后解决方案是形成邻接矩阵 P ，找到对应于其最大特征值的特征向量。

还有一个近似的解决方案。如果我们采用顶点概率的向量 x ， x _A = 1，其他元素设置为0，那么 P当 k 进入无穷大时， ^k x 会收敛到 v 。对于 k 的小值， P ^k 可能比特征向量更容易计算。

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实施例

让我们看看下面的简单图表：

如果我们按字母顺序排列顶点，那么对应于图形的矩阵 P 是：

该矩阵的特征值等于1，相应的特征向量为：[1 0 70/79 49/79]。也就是说，从 C 到达 A 的确切概率是70/79，而从 D 到达它是49/79。如果你找到了 B 的答案，那就是9/79和30/79，这正是我们所期望的。

P ¹⁶ [1 0 0 0]的值约为[1 0 0.886 0.62]，并且正确到小数点后6位。