设G =（V，E）是无向图。边的集F FE称为a 如果G的每个周期在F中至少有一个边缘，则反馈边缘设置
（a）假设G未加权。设计一种有效的算法来查找 最小尺寸反馈边集。
（b）假设G是具有正边权重的加权无向图。 设计一种有效的算法来找到最小权重反馈边集。
我的解决方案（需要建议）：
a）最小尺寸反馈边集：由于图表未加权，我们可以使用DFS。我们像往常一样从任何顶点开始DFS。当我们遇到后边缘时，我们将其插入一组反馈边缘。当DFS完成时，该集将是答案。
b）最小权重反馈边集：由于图表是加权的，我们可以使用Kruskal。但Kruskal通常以最小重量的边缘开始。如果我们可以否定所有边权重，然后运行Kruskal，每当我们在相同组件的顶点之间获得边缘时，我们可以将其保存在反馈边集中。最后，否定边权重。我建议否定边权重的原因是因为我们需要最小权重反馈集。在负重量的情况下，Kruskal将从具有最小重量（实际上最大）的边缘开始，并且将找到具有较小重量的相同部件的边缘。
有人可以判断这个解决方案是否正确吗？
答案 0 :(得分：5)
是的，您的解决方案是正确的。最小权重反馈边缘集的无向图是最大权重跨越森林的补充。所有跨越森林都具有相同的基数，因此在未加权的情况下，任何跨越森林（由DFS找到）都可以。 （证明草图：拟阵。）
反馈 arc 设置确实是NP难的，但这是无向的情况。
答案 1 :(得分：4)
在具有正权重的加权有向图中找到最小权重反馈边集：
通过否定权重，观察它相当于找到最大权重反馈边缘集。 要查找最大权重反馈边集，请使用Prim或Kruskal算法构建MST。然后取该MST的补充。
为什么会这样？ 这是基于以下观察：
边缘不在任何MST中，当且仅当存在一个周期，该边缘对该周期中所有其他边缘的最大权重。 或者，换句话说，边缘在某些MST中，当且仅当该边缘所属的每个周期时，它在该周期中的所有其他边缘上的权重不大。
实际上，假设我们有一个带边的最大权重反馈边设置，使得存在一个包含该边的循环和另一个具有更大权重的边，然后用另一个边替换该边将提供更大的反馈边集重量。
为了完整性，观察的证明：
＆lt; =）假设边缘在一个周期中具有最大权重。如果它在某个MST中，那么用该循环中的另一个边缘替换该边缘将提供具有较小权重的MST。
=＆gt;）假设对于给定边缘所属的每个周期，在该周期中存在具有更大权重的边缘。如果它不在任何MST中，则将该边缘添加到MST将导致MST中的循环。然后从该循环中移除最大重量的边缘（与给定边缘不同）将提供具有较小重量的MST（并且包括该给定边缘）。
答案 2 :(得分：1)
这两个问题都是NP完全的。因此，即使是近似有效（多项式时间）解决方案也不太可能存在（http://en.wikipedia.org/wiki/Feedback_arc_set）。
如果您可以放宽对应用程序中严格的最小解决方案大小的要求，则可以使用其他启发式方法，但它们可能难以相互比较。
请注意，您可以轻松找到最小（非最小）解决方案：按任意顺序浏览任何反馈边缘的边缘，如果是冗余，则立即删除。对所有边缘进行一次扫描就足够了，并使用例如DFS执行冗余测试。
答案 3 :(得分：0)
对于任何反馈边缘，此图的补码必须是原始图的生成林。这就是补充图不包含任何循环，这是非常明显的。
问题a）：
对于最小大小的反馈边集，这相当于找到跨越森林的最大大小。因此，我们可以简单地使用DFS来查找图的每个连接组件的生成树并获取补充。然后我们得到最小尺寸反馈边缘。实际上，我认为DFS不是必需的，只要我们可以为每个连接的组件找到生成树
问题b）：
要找到最小的权重反馈边集，这相当于找到跨越森林的最大权重。然后我们可以使用Kruskal算法或Prim算法来查找每个连接组件的最大生成树。然后采取补充，我们将得到最小的体重反馈集。
答案 4 :(得分：-1)
您的解决方案A）将无效，因为您没有提供任何逻辑来判断边缘是否具有“后退”属性。
你的解决方案B）不起作用，因为Kruskal不会寻找反馈集，而是寻找最小加权覆盖树。最小加权树不一定包含反馈边集的原因的一个很好的例子是K4图。