Question

计算垂直于第三个向量（X）并且彼此垂直的两个向量的最佳（最快）方法是什么？

这就是我现在如何计算这个向量：

// HELPER - unit vector that is NOT parallel to X
x_axis = normalize(X);
y_axis = crossProduct(x_axis, HELPER);
z_axis = crossProduct(x_axis, y_axis);

我知道有很多解决方案，我不关心哪一个是我的解决方案。

这个问题的背后是什么：我需要构造变换矩阵，我知道哪个方向应该是X轴（矩阵中的第一列）。我需要计算Y和Z轴（第二和第三列）。众所周知，所有轴必须相互垂直。

Answer 1

这是做到这一点的方法它也可能是唯一的方式。任何其他方式在数学上都是等价的通过打开crossProduct计算并确保您不会多次执行相同的乘法，可以节省几个周期，但这实际上远远超出了微优化范围。

你要注意的一件事当然是HELPER矢量。它不仅不必与X平行，而且它与X非常不平行也是一个好主意。如果X和HELPER甚至有点平行，那么浮点计算将变得不稳定且不准确。如果X和HELPER的点积为0.9999，你可以测试看看会发生什么。

Answer 2

我做了什么，前提是X<>0或Y<>0

A = [-Y, X, 0]
B = [-X*Z, -Y*Z, X*X+Y*Y]

然后将矢量标准化。

[ X,Y,Z]·[-Y,X,0] = -X*Y+Y*X = 0
[ X,Y,Z]·[-X*Z,-Y*Z,X*X+Y*Y] = -X*X*Z-Y*Y*Z+Z*(X*X+Y*Y) = 0
[-Y,X,0]·[-X*Z,-Y*Z,X*X+Y*Y] = Y*X*Z+X*Y*Z = 0

这称为向量的 nullspace 。

如果X=0和Y=0则A=[1,0,0]，B=[0,1,0]。

Answer 3

有一种方法可以找到一个好的HELPER（真的 - 它已准备好成为你的y_axis）。

设X =（ax，ay，az）。选择2个具有更大幅度的元素，交换它们，并否定其中一个元素。设置为零第三个元素（幅度最小）。该向量垂直于X.

示例：

if（ax＆lt; = ay）和（ax＆lt; = az）然后HELPER =（0，-az，ay）（或（0，az，-ay））

X * HELPER = 0 * 0 - ay * az + az * ay = 0

if（ay＆lt; = ax）和（ay＆lt; = az）然后HELPER =（az，0，-ay）

Answer 4

对于良好的HELPER矢量：找到具有最小绝对值的X坐标，并使用该坐标轴：

absX = abs(X.x); absY = abs(X.y); absZ = abs(X.z);
if(absX < absY) {
  if(absZ < absX)
    HELPER = vector(0,0,1);
  else // absX <= absZ
    HELPER = vector(1,0,0);
} else { // absY <= absX
  if(absZ < absY)
    HELPER = vector(0,0,1);
  else // absY <= absZ
    HELPER = vector(0,1,0);
}

注意：这实际上非常类似于@ MBo的答案：使用最小坐标轴的交叉产品相当于将最小坐标设置为零，交换较大的坐标，并取消一个。

Answer 5

我认为单位向量中所有元素的最小最大值总是大于0.577，所以你可以逃脱这个：

- ＆GT;通过查找幅度大于0.5的任何元素，然后忽略不同的元素（在其位置使用0）并将垂直应用于2D矢量公式，减少向3D矢量找到3D矢量的垂直矢量到2D矢量的问题。其余元素（对于2D x轴=（ax，ay） - ＆gt; y轴=（ - ay，ax））

let x-axis be represented by (ax,ay,az)

if (abs(ay) > 0.5) {
  y-axis = normalize((-ay,ax,0))
} else if (abs(az) > 0.5) {
  y-axis = normalize((0,-az,ay))
} else if (abs(ax) > 0.5) {
  y-axis = normalize((az,0,-ax))
} else {
  error("Impossible unit vector")
}

计算在3D中垂直于第三矢量的两个矢量

5 个答案: