覆盖具有给定直径的最小圆圈数的多边形

Question

以下问题： 给定是一个任意多边形。应使用给定半径的最小圆圈数100％覆盖。

注意： 1）自然地，圆圈必须重叠。 2）我尝试解决ARBITRARY多边形的问题。但是，对CONVEX多边形的解决方案也很感激。 3）据我所知，这个问题是NP难的（an algorithm to find the minimum size set cover for the Set-cover problem） 选择：U =多边形和S1 ... Sk =具有任意中心的圆圈。

我的解决方案： 我已经阅读了一些论文并自己尝试了一些方法。我提出的最有希望的想法实际上已经在Covering an arbitrary area with circles of equal radius中指出了。

所以我想我最好快速尝试描述自己的想法然后改进我的问题。

图片让您对我的工作非常了解

IDEA和问题制定 我用它们相应的六边形近似圆圈并镶嵌整个R2，即一个足够大的区域;关键字六角形最接近的包装。 （青色...镶嵌，红色点缀，青色六边形的中心） 2.我将多边形放在这个镶嵌区域的中间位置，并计算覆盖多边形所需的六边形数量。

在下面我尝试通过在每个步骤“计数”N之后逐步移动多边形来最小化N，即覆盖多边形所需的六边形数量。

解决问题： 所以当它变得困难时（对我来说）。我不知道任何正确解决这个问题的优化器，因为它们都会在多边形移动一点之后终止，而不是观察任何变化。

我的解决方案如下： 首先请注意，这是一个周期性问题： 1.多边形可以在水平方向x上移动，周期为六边形的3 * r（边长=半径r）。 2.多边形可以在垂直方向y上移动，周期为六边形的r ^ 2 + r ^ 2-2 * r r cos（2/3 * pi）。 3.多边形可以旋转phi，周期为2/3 * pi。

这意味着，必须搜索可能解决方案的有限区域以找到最佳解决方案。 所以我所做的是，我为（x，y，phi）选择了一个步长，并且只是强力计算所有可能的解决方案，选择最佳解决方案。

完善我的问题 1）问题是否明智地制定了？现在我正在研究一种算法，该算法仅对非常小的区域进行细分，以便尽可能少地计算六边形。 2）是否有更智能的优化器来解决问题？ 3）最后：我也很难找到合适的文献，因为我不认为我不知道要找的合适的关键词。因此，如果有人能够为我提供文献，那么也会受到很多赞赏。

实际上我可以继续讨论其他尝试的事情，但我想你们中的任何一个人都不想花一整个下午来阅读我的问题。

提前给每个花时间思考它的人。

垫

PS我在matlab中实现我的算法

Answer 1

编辑：重写的答案（圈子不能超出多边形的限制）。

您可能对Covering a simple polygon with circles感兴趣。我认为算法可以工作或者也可以扩展到复杂的多边形。

Answer 2

我喜欢你的方法！当您提到优化时，我认为实现此目标的一种好方法是旋转六角形网格并将其平移，直到找到覆盖该区域的最小圆。您不需要旋转360，因为图案是对称的，所以只需360/6。

我已经在这个问题上研究了一段时间，并且刚刚发表了一篇包含解决该问题代码的论文！它使用遗传算法和BFGS优化。您可以在此处找到论文的链接：https://arxiv.org/abs/2003.04839

Answer 3

1.在最小尺寸的矩形中输入给定的多边形 2.用圆圈最佳地覆盖矩形（算法可用）