链式哈希表查找的预期最坏情况时间复杂度？

Question

当使用良好的散列函数实现散列表时（任何两个元素碰撞的概率为1 / m，其中m是桶的数量），众所周知，平均情况下的运行时间为查找元素是Θ（1 +α），其中α是负载因子。但是，最坏情况下的运行时间是O（n），如果所有元素最终放入同一个桶中。

我最近在哈希表上做了一些阅读，发现this article声称（第3页）如果α= 1，预期最坏情况复杂度为Θ（log n / log log n）。通过“预期的最坏情况复杂性”，我的意思是，在期望的情况下，如果元素通过统一散列函数分发，则必须完成的最大工作量。这与实际的最坏情况不同，因为最坏情况的行为（同一个桶中的所有元素）实际上不太可能发生。

我的问题如下 - 作者似乎暗示不同的α值可以改变查找的预期最坏情况复杂性。有没有人知道某个公式，表格或文章，讨论如何改变α改变预期的最坏情况运行时间？

Answer 1

对于固定α，预期的最差时间始终为Θ(log n / log log n)。但是，如果您将α设为n的函数，那么预期的最差时间可能会发生变化。例如，如果α = O(n)，那么预期的最差时间是O(n)（这是你有一个固定数量的哈希桶的情况）。

通常，项目分配到桶中大致是泊松分布，具有i项的随机桶的概率为αi e-α / i!。最糟糕的情况是接近独立观察的m中最差的m'。 （并非完全独立，但非常接近它。）m观察中m'最差的事件往往是发生的几率约为1/m次。 （更确切地说，分布由Β分布给出，但对于我们的分析1/m已经足够了。）

当你进入泊松分布的尾部时，i!项的增长主导其他所有项，因此高于给定i的所有项的累积概率小于选择i的概率。 1}}本身。因此，通过求解得出一个很好的近似值，你可以找出预期值：

αi e-α / i! = 1/m = 1/(n/α) = α/n

记录双方的日志，我们得到：

i log(α) - α - (i log(i) - i + O(log(i)) = log(α) - log(n)
log(n) - α = i log(i) - i - i log(α) + O(log(i))

如果我们保持α不变，那么这就是：

log(n) = i log(i) + O(i)

如果i的格式为k log(n) / log(log(n)) k = Θ(1)，那么这可行吗？我们来试试吧：

log(n) = (k log(n) / log(log(n))) (log(k) + log(log(n)) - log(log(log(n)))) + O(log(log(n)))
       = k (log(n) + o(log(n)) + o(log(n))

然后我们得到更清晰的估计，对于任何固定的平均负载α，预期的最差时间为(1 + o(1)) log(n) / log(log(n))

Answer 2

经过一番搜索后，我遇到了this research paper，它完整地分析了一大堆不同类型的哈希表的预期最坏情况行为，包括链式哈希表。作者给出了一个答案，即预期长度约为Γ ^-1 （m），其中m是桶的数量，Γ是Gamma function。假设α是常数，则大约为1 m / ln ln m。

希望这有帮助！