我们给了N对。每对包含两个数字。我们必须找到最大数K，使得如果我们采用来自给定N对的J（1 <= J <= K）对的任何组合，我们在所有那些选择的J对中具有至少J个不同的数。我们可以有不止一对。
例如，考虑对 （1,2） （1,2） （1,2） （7,8） （9,10） 对于这种情况，K = 2，因为对于K> 1。 2，如果我们选择三对（1,2），我们只有两个不同的数字，即1和2。
从一个开始检查每个可能的组合将花费大量时间。什么是解决问题的有效算法？
答案 0 :(得分：0)
似乎与MinCut / MaxFlow有关。这是尝试将其缩小为MinCut / MaxFlow：
- Produce one vertex for each number
- Produce one vertex for each pair
- Produce an edge from number i to a pair if the number is present in the pair, weight 1
- Produce a source node and connect it to all numbers, weight 1 for each connection
- Produce a sink node and connect it to all numbers, weight 1 for each connection
对此运行MaxFlow应该为您提供数字K，因为任何三对总共只包含两个数字的对，将被数字的出局边缘上的约束“阻止”。
我不确定这是否是最快的解决方案。我想在那里可能还有一个隐藏在一个补体中。在那种情况下，有一种贪婪的方法。但是我找不到你正在构建的集合的matroid属性的证明。
答案 1 :(得分：0)
我在这方面取得了一些进展，但还不是一个有效的解决方案。但它可能指明了方向。
制作一个点为对的图形，如果它们共用一个数字，则连接任意一对点。然后对于任何子图，其中的数字数是顶点数减去边数。因此，您的问题与定位边缘多于顶点的最小子图（如果有）相同。
具有相同边数和顶点数的最小子图是一个循环。因此，我们正在寻找的图形是共享一个或多个顶点的2个周期，或者是通过路径连接的2个周期。没有其他可能的最小类型。
您可以使用广度优先搜索轻松定位和枚举周期。可能会有很多，但这是可行的。有了这个，您可以查找这些子类型的子图。 （枚举最小周期，寻找共享点或连接的对。）但不保证是多项式。我怀疑这将是一个非常好的东西，但最坏的情况是非常糟糕的。然而，这可能比你现在正在做的更有效。
我一直认为某种广度优先的搜索可以在多项式时间内找到它们，但我一直都没有看到确切的方法。
答案 2 :(得分：0)
创建一个图表，每个数字都有一个顶点，每对数字都有一个边缘。
如果这个图是一个链或一个树，我们有“数字”的数量，等于“对”的数量加上一个，从这个图中删除任意数量的边之后，我们从来没有得到比边更少的顶点。
现在向此链/树添加一个循环。顶点和边数相等。从此图中删除任意数量的边后，我们再次得到的顶点不会比边更少。
现在添加任意数量的断开连接的组件，每个组件不应包含多个循环。再一次，在删除任意数量的边之后，我们永远不会获得比边更少的顶点。
现在为任何断开连接的组件添加第二个循环。删除所有其他组件后。最后，我们有更多的边缘而不是顶点（更多的对比数字）。
所有这些导致得出的结论是，K + 1恰好是最小可能子图中的边数，包括两个周期，可能还有一个连接这些周期的链。
对于每个连接的组件，使用Floyd-Warshall算法找到每个节点的最短周期。
然后对于每个非重叠循环（在单个分量中），使用Dijkstra算法，从在一个循环中具有至少3个边缘的任何节点开始，找到到达其他循环的最短路径;并计算两个周期和最短路径的长度之和，连接它们。对于每个重叠的循环对，只需计算它们的边数。
现在找到所有这些子图的最小长度。并减去1。
如果图中至少有一个双循环分量，则上述算法计算K.如果没有这样的成分，K = N。
答案 3 :(得分：0)
这相当于找到与图中最小周期和弦的和弦。一个非常天真的算法是：
检查边缘的移除是否导致包含与边缘对应的顶点的循环。如果是，则记下最小周期的长度。