Question

我目前收紧浮点数值以估算一个值。（对于那些感兴趣的人来说，p(k,t)。）实际上，该实用程序永远不会产生该值的低估：可能的素数生成的安全性取决于数字上强大的实现。虽然输出结果与公布的值一致，但我使用DBL_EPSILON值来确保除法产生的结果永远不会小于真值：

考虑：double x, y; /* assigned some values... */

评估：r = x / y;经常发生，但这些（有限精度）结果可能会截断真实结果中的有效数字 - 可能是无限精确的合理扩展。我目前试图通过对分子应用偏差来缓解这种情况，即

r = ((1.0 + DBL_EPSILON) * x) / y;

如果你对这个主题有所了解，p(k,t)通常比大多数估计要小得多 - 但是用这个“观察”来解决问题根本不够好。我当然可以说：

(((1.0 + DBL_EPSILON) * x) / y) >= (x / y)

当然，我需要确保'偏差'结果大于或等于'确切'值。虽然我确信它与操纵或缩放DBL_EPSILON有关，但我显然希望'偏向'结果超出'精确'结果的最小值 - 在 IEEE-754 算术下可证明假设

是的，我看过Goldberg的论文，并且我一直在寻找一个强大的解决方案。 请不要建议操纵舍入模式。理想情况下，我是在对浮点定理有很好掌握的人的回答，或者知道一个非常好的例子。

编辑：澄清，(((1.0 + DBL_EPSILON) * x) / y)或表单(((1.0 + c) * x) / y)不是先决条件。这只是我使用的方法“可能足够好”，没有为它提供坚实的基础。我可以声明分子和分母不是特殊值：NaNs，Infs等，分母也不是零。

Answer 1

首先：我知道你不想设置舍入模式，但实际上应该说在精度方面，正如其他人所指出的那样，设置舍入模式将产生尽可能好的答案。具体来说，假设x和y都是正数（似乎是这种情况，但在您的问题中没有明确说明），以下是标准的C片段，其中包含所需内容实现[1]：

#include <math.h>
#pragma STDC FENV_ACCESS on

int OldRoundingMode = fegetround();
fesetround(FE_UPWARD);
r = x/y;
fesetround(OldRoundingMode);

现在，除此之外，有正当理由不想改变舍入模式（某些平台不支持round-to-infinity，在某些平台上更改舍入模式会引入大型序列化停顿，等等，而你不愿意这样做的愿望不应该被随便撇在一边。所以，尊重你的问题，我们还能做些什么呢？

如果您的平台支持融合乘法添加，那么您可以使用非常优雅的解决方案：

#include <math.h>
r = x/y;
if (fma(r,y,-x) < 0) r = nextafter(r, INFINITY);

在支持硬件fma的平台上，这非常有效。即使fma（）在软件中实现，也可以接受。这种方法的优点在于它将提供与改变舍入模式相同的结果;也就是说，最严格的约束可能。

如果您的平台的C库是antediluvian并且没有提供fma，那么仍有希望。您声明的陈述是正确的（假设没有非正规值，至少 - 我需要更多地考虑非正规的情况）; (1.0+DBL_EPSILON)*x/y实际上总是大于或等于无限精确的x / y。它有时会比具有此属性的最小值大一个ulp，但这是一个非常小且可能可接受的余量。这些声明的证明非常繁琐，可能不适合StackOverflow，但我会快速草图：

忽略非正规，只需将自己限制在[1.0,2.0]中的x，y即可。
（1.0 + eps）* x> = x + eps＆gt; X。要看到这一点，请观察：
```
(1.0 + eps)*x = x + x*eps >= x + eps > x.
```
设P是数学上精确的x / y。我们有：
```
(1.0 + eps)*x/y >= (x + eps)/y = x/y + eps/y = P + eps/y
```
现在，y高于2，所以这给了我们：
```
(1.0 + eps)*x/y > P + eps/2
```
这足以保证结果舍入到值> = P。这也向我们展示了更严格的约束方式。在许多情况下，我们可以使用nextafter(x,INFINITY)/y以更紧密的方式获得所需的效果。（nextafter(x,INFINITY)总是x + ulp，而(1.0 + eps)*x一半是x + 2ulp。如果你想避免调用nextafter库函数，你可以使用{{1}相反，在正的正常值的工作假设下得到相同的结果。

为了真正迂腐，这将变得更加复杂。没有人真正编写这样的代码，但它将沿着这些方向：
```
(x + (0.75*DBL_EPSILON)*x)
```

浮点除法 - 偏向于避免结果小于“精确”值

1 个答案: