Question

我们有N金币和M银币。有k个项目，每个都有一些成本，一个金币和B银币，其中A或B也可以为零。

什么算法可以购买最大数量的物品？

Answer 1

这是背包问题吗？

您描述的问题不是Knapsack problem。在这里，您只想最大化项目数量，而不是总成本。在背包问题中，你感兴趣的是最大化总成本，同时尊重麻袋的容量。换句话说，你想要抓住适合你口袋的最有价值的物品。你真的不关心它们中有多少，只是它们是最有价值的那些！

下面，我们将讨论问题的两个变种：

单一货币 - 金币和银币是可互换的
多个正交货币 - 金币无法转换为白银。

单一货币变式

假设你只允许花N金币和M银币，这里有一个应该有效的算法：

1. Sort the items by cost, from cheapest to the most expensive.
2. totalCost = 0; i = 1
3. while totalCost <= goldToCost(N) + silverToCost(M) + item[i].cost
4.    totalCost = totalCost + items[i].cost
5.    i++
6. endWhile
7. return i

由于排序，此算法仅占用 O（nlogn）时间。

多货币变式

上述解决方案假设两种货币可以相互转换。该问题的另一个变体涉及正交货币，其中两种货币不能相互转换。在这种情况下，所有成本都将被指定为向量。

为了使用动态编程算法解决这个问题。我们需要询问是否展示以下两个特征：

Optimal Substructure。问题的最佳解决方案是从其子问题的最优解决方案中得出的吗？例如，让S(M, N)成为我们可以使用M金币和N银币购买的最大物品数量。我们可以使用递归关系推导出S(M, N)吗？
overlapping Subproblems。是否使用S（M，N）的子问题反复计算更大的子问题？

想象一下具有N行和M列的二维表。

+---+---+---+---+---+-----+---+
|   | 0 | 1 | 2 | 3 | ... | N |
+---+---+---+---+---+-----+---+
| 0 |   |   |   |   |     |   |
| 1 |   |   |   |   |     |   |
| 2 |   |   |   |   | ... |   |
| 3 |   |   |   |   |     |   |
| : |   |   |   |   |     |   |
| M |   |   |   |   |     |   |
+---+---+---+---+---+-----+---+

我们的算法基本上会填写此表。在行i，列j S[i, j]中，可以使用我的金币和j银币购买最大数量的商品。

要完成该表，我们可以使用两个按字典顺序排序的数组I和D。在第一个，黄金作为主要的排序关键，银色seconday。在第二，银是主要的，黄金是次要的。填写第0行和第3列是直截了当的。然后我们串联遍历两个排序的数组，然后我们可以使用以下重复来完成表

S[0, 0] = 0
S[i, j] = 0   if i < 0 or j < 0 
S[i, j] = max(S[i-1,j-1] + d[i-1,j-1], S[i-1,j] + d[i-1,j], S[i,j-1] + d[i,j-1])

其中d[i*,j*]是您可以使用<i,j> - <i*, j*>购买的其他项目数，其中<i*, j*>是{<i-1, j-1>, <i-1, j>, <i, j-1>}之一。换句话说，你可以用剩余的钱购买多少钱。对此进行计算的搜索涉及对两个按字典顺序排序的序列之一（I或D）进行二进制搜索。

此解决方案需要 O（（MN + n）logn）时间来计算并使用 O（MN + n）空间。

Answer 2

在这个问题中，每个项目都有二维成本。让项目i有成本c [i] = ＆LT; a，b>其中a是金币的成本，b是银币的成本。

这些项目现在可以部分订购，以便项目i比项目j“不是更贵”，如果

c[i] = <a, b>    c[j] = <a', b'>  and    a <= a' AND b <= b'

请注意，这是部分订单。两个项目＆lt; 1,2＆gt;和＆lt; 2,1＆gt;在这种偏序中没有可比性;没有一个比另一个更贵。

现在很清楚，贪婪算法可以安全地购买物品，只要它们“不是更贵”，而每个其他剩余物品，但是当有多个不可比项目时可用，可能需要更多分析（例如搜索）。

例如，如果费用是

 <1, 1>
 <2, 1>
 <1, 2>
 <3, 3>

这导致了这个部分顺序：

        <1, 1>
       /      \
     <2, 1>   <1, 2>
         \   /
         <3, 3>

（底部最贵的物品）。贪婪算法将首先购买＆lt; 1,1＆gt;。之后，＆lt; 2,1＆gt;都是＆lt; 2,1＆gt;。和＆lt; 1,2＆gt;是可行的购买选择。如果算法选择购买＆lt; 2,1＆gt;，则下一个购买是＆lt; 1,2＆gt;。因为它现在不比所有其他剩余物品（＆lt; 3,3＆gt;）更昂贵。

简单的贪婪算法可能会失败。设置＆lt; 2,1＆gt;，＆lt; 1,2＆gt;，＆lt; 3,0＆gt;并且初始金币数量= 4，银= 2，最佳解决方案是＆lt; 1,2＆gt;和＆lt; 3,0＆gt;，但购买＆lt; 2,1＆gt;首先导致只能购买该商品（购买时剩下的是＆lt; 2,1＆gt;硬币，不允许购买剩下的两件商品）。

我会接受这个购买建立部分订单结构然后执行回溯搜索。如果时间限制不允许完全回溯，我会使用有限的回溯作为其他贪心算法的启发式算法。

Answer 3

没有“算法”。

您正在描述背包问题的一个版本，这是一个众所周知的NP完全问题。对于问题的小版本，使用小N，M和k，您只需经历所有不同的组合。对于较大的版本，没有已知的方法可以找到一个“最佳”解决方案，该解决方案需要的时间少于宇宙的生命周期才能计算出来。

最接近解决这个问题涉及一个称为线性规划的领域。这不是一件简单的事情，但如果你愿意的话，你可以去阅读它。

购买最大物品的算法

3 个答案:

这是背包问题吗？

单一货币变式

多货币变式