Question

二维空间中有一个NXM点网格。可以将项目放置在点（x，y）处，使得在（x + 2，y-2）或（x-2，y-2）或（x-2，y + 2）处不能有另一个项目）或（x + 2，y + 2）。此外，网格中的几个点被卡住，即物品不能放置在这些点上。

那么如何找到可以放在网格中的最大项目数。

Answer 1

没有这些阻塞点的最佳包装将放在列

上

(a + 0), (a + 3), (a + 6), ..., (a + 3*n)

如果这些列之外存在块，则无法进行任何改进。如果列上存在块，则在（x，y）处，您可以将点放在（x + 2，y-2）和（x-2，y-2）上。因此，请查看所有列并尝试将它们置于最小化列上的块数。（请注意，这表示之前最大化。我昨晚也睡了3小时。）

检查这个可以在n * m步骤中完成。

Answer 2

我认为将网格视为圆环是一种说明，即两侧“环绕”（顶部 - >底部，左侧 - >右侧），以便您可以忽略边缘情况。当N和M很大时，无论如何这都是一个很好的近似值。

在环面上，每个点必然会阻挡现有的两个其他点，但您可以重叠排除，即一个点的(x+2, y-2)是另一个点(x+2, y-2)。因此，您可以达到的最大包装为1/2。这可以通过交替的柱条实现：2个完整列，2个空列，2个完整列等等。

我会离开角落的情况（M不是4的倍数）。

在一个不是圆环的网格上，你有两个考虑因素。首先，您可以直接将完整列启动到网格的边缘。你也可以完全填充底部的两行（“底部”是最小的y）。因此，您可以实现比1/2更好的打包，但是当尺寸接近无限时，您仍然会获得1/2。

Answer 3

考虑更简单的1d问题：给定一个长度为n的数组，其中包含阻塞的单元格，有多少种方法可以填充它，如果x处有1，则没有1 x - 2和x + 2。

请注意，这是一个多余条件：如果我们在x处有一个1，那么1号就足够x - 2（如果x + 2处有1，那么将打破这种减少的条件）。

让dp[i, j] = number of ways to populate 1 .. i with points such that the last element is j。

我们有：

dp[i, 0] = dp[i - 1, 0] + dp[i - 1, 1] <- no 1 at i
dp[i, 1] = 2 * dp[i - 2, 0] <- we MUST have 0 at i - 2, but i - 1 can have whatever
=> if i is blocked dp[i, _] = dp[i - 1, _]

示例：

n = 3
brute force solutions:
000
010
100
001
110
011
=> 6
dp[0, 0] = 1 dp[0, 1] = 0
dp[1, 0] = 1 dp[1, 1] = 1
dp[2, 0] = 2 dp[2, 1] = 2
dp[3, 0] = 4 dp[3, 1] = 2
=> dp[3, 0] + dp[3, 1] = 6

同样可以用于您的问题。注意条件可以减少到“如果在（x - 2，y - 2）和（x + 2，y - 2）处没有点，则可以在（x，y）处有一个点” 即可。然后在O(lines*columns)中迭代并填写dp矩阵。

用于查找可放置在网格中的最大项目的算法

3 个答案: