矩阵的逆的行列式

Question

如何使用Cholesky分解计算矩阵的逆矩阵的行列式。我发现这个直接计算矩阵的行列式不是一个好主意。那么任何人都可以提供一些见解吗？

Answer 1

如果你已经有Cholesky分解（A = L * L_t），那么你就有了

det(A) = det(L) * det(L_t) = sqr(det(L))

L矩阵是下三角形，因此它的行列式是对角元素的乘积。

Cholesky分解采用O（n ^ 3）运算，L的对角元素乘积仅为O（n）。高斯消元法（将A转换为三角矩阵）将需要O（n ^ 3）并且会遇到可能的数值问题。

最后，det（inv（A））= 1 / det（A）。

Answer 2

det(A) = product(eigenvalues(A)) = product(diagonal(choleskyFactorization(A)))^2

例如，要在Matlab / Octave中计算矩阵A的行列式，您可以使用prod(diag(chol(A)))^2，这是Matlab语法中上述等式的右侧。