在找到两个平面相交的直线的情况下，需要取两个平面法线的叉积。这个交叉产品只是采用矩阵的决定因素：
i j k
x1 y1 z1
x2 y2 z2
其中（x，y，z）是每个平面的法向量。结果是平行于交叉线的矢量。从那里你需要找到一个位于两个平面上的点。这两个部分组合在一起为您提供了一个完全定义的线。
如何将其扩展到在飞机上相交的超平面？我想我需要采用类似矩阵的行列式，但我想到的矩阵是：
h i j k
w1 x1 y1 z1
w2 x2 y2 z2
不是方阵。另外，我不知道如何找到两个超平面上的点。
有人可以向我解释如何找到超平面的交叉平面吗？
谢谢你的时间！
答案 0 :(得分：4)
您不必为此计算行列式，只需执行简单的变量替换即可获得交叉平面。例如，如果你有两个超平面：
3x + 4y + 2z - 7w = 10
2x - 3y + 2z + 1w = 2
然后您可以隔离w（或任何其他变量）：
w = 2 - 2x + 3y - 2z
并在第一个等式中替换它：
3x + 4y + 2z - 7(2 - 2x + 3y - 2z) = 10
结果是：
17x - 17y + 16z - 14 = 10
现在你有了你的交叉路面。只是简单的数学。
完整的4D平面表示基于两个方程式，首先您找到解决(x, y, z)的{{1}}值，然后使用17x - 17y + 16z - 14 = 10计算w。
答案 1 :(得分：1)
使用简单变量替换的答案是不正确的。 3x + 4y + 2z - 7（2 - 2x + 3y - 2z）= 10本身是四维空间中的三维超平面，并不代表四维空间中两个给定三维超平面的交点。等式具有较小变量的事实不会降低对象的维度。
类比：y = 7仍然是2d中的一维线，就像y = x + 7一样。并且z + y = 5仍然是3d中的2d平面，就像x + y + z = 5一样。
变量替换在3D中不起作用，我们按照概述进行交叉产品，并且在4D中不起作用。它需要2个方程来表示4D中的2D对象（两个3D超平面的交点是2D对象。）对于类比，请告诉我在2D中映射为点的单个“方程”。 y = 5x + 2是一条线，y = x是一条线，x = 6是一条线，y = 0是一条线。如果我们在4D中，即使简单的等式y = 1也是3D超平面。移除变量不是获得2D中的0D点，3D中的1D线或4D中的2D 2D交叉的方程的方法。所有这些都需要两个同时真实的方程来定义它们。不能只是替换变量。
答案 2 :(得分：1)
您需要设置与超平面相对应的矩阵系统（Ax = b），然后查看解决方案的等级。这将告诉它是否有解决方案，如果是，它是否是一个点/线/平面/等。
我有一个问题：“R ^ 4中是否存在n个3-dim超高层，使得它们之间的交点是一个平面，对于所有正整数n”