对于给定数n（我们知道n = p ^ a * q ^ b，对于一些素数p，q和一些整数a，b）和给定数字φ（n）（http://en.wikipedia.org/wiki/Euler%27s_totient_function ）找到p，q，a和b。
捕获是n，而φ（n）有大约200位数，因此算法必须非常快。 这似乎是非常困难的问题，我完全不知道如何使用φ（n）。
如何处理？
答案 0 :(得分：6)
对于n = p^a * q^b，总数为φ(n) = (p-1)*p^(a-1) * (q-1)*q^(b-1)。不失一般性，p < q。
gcd(n,φ(n)) = p^(a-1) * q^(b-1) p q-1如果gcd(n,φ(n)) = p^a * q^(b-1)除p，q-1如果n/gcd(n,φ(n)) = p*q除以φ(n)/gcd(n,φ(n)) = (p-1)*(q-1) = p*q + 1 - (p+q)，则为x = p*q = n/gcd(n,φ(n))。
在第一种情况下，我们有y = p+q = n/gcd(n,φ(n)) + 1 - φ(n)/gcd(n,φ(n))和p，因此您有q和y^2 - 4*x = (q-p)^2。然后查找q = (y + sqrt(y^2 - 4*x))/2和p = y-q很简单：a，b和n/gcd(n,φ(n)) = q。然后找到指数b和q是微不足道的。
在第二种情况下，p^a。然后，您可以轻松找到指数φ(n)，除以(q-1)*q^(b-1)，直到除法留下余数，从而获得z = (p-1)*p^(a-1)。将p^a - z = p^(a-1)除以p = p^a/(p^a-z)会给您a。然后是n/gcd(n,φ(n))和{{1}}。找到指数{{1}}再次是微不足道的。
所以仍然需要决定你拥有哪种情况。当且仅当{{1}}是素数时才有案例2。
为此，你需要一个体面的素性测试。或者你可以先假设你有案例1，如果不成功，可以断定你有案例2。
答案 1 :(得分：0)
尝试计算n /（n - φ（n））是什么。
跟进：
n /（n - φ（n））= pq。你只需要将p除以pq。