Question

我正在证明filter和map的一些属性，一切都很顺利，直到我偶然发现了这个属性：filter p (map f xs) ≡ map f (filter (p ∘ f) xs)。以下是相关代码的一部分：

open import Relation.Binary.PropositionalEquality
open import Data.Bool
open import Data.List hiding (filter)

import Level

filter : ∀ {a} {A : Set a} → (A → Bool) → List A → List A
filter _ [] = []
filter p (x ∷ xs) with p x
... | true  = x ∷ filter p xs
... | false = filter p xs

现在，因为我喜欢使用≡-Reasoning模块编写校样，我尝试的第一件事就是：

open ≡-Reasoning
open import Function

filter-map : ∀ {a b} {A : Set a} {B : Set b}
             (xs : List A) (f : A → B) (p : B → Bool) →
             filter p (map f xs) ≡ map f (filter (p ∘ f) xs)
filter-map []       _ _ = refl
filter-map (x ∷ xs) f p with p (f x)
... | true = begin
  filter p (map f (x ∷ xs))
    ≡⟨ refl ⟩
  f x ∷ filter p (map f xs)
--  ...

但是，唉，这没用。在尝试了一个小时之后，我终于放弃并以这种方式证明了它：

filter-map (x ∷ xs) f p with p (f x)
... | true  = cong (λ a → f x ∷ a) (filter-map xs f p)
... | false = filter-map xs f p

仍然很好奇为什么要通过≡-Reasoning不起作用，我尝试了一些非常微不足道的事情：

filter-map-def : ∀ {a b} {A : Set a} {B : Set b}
                 (x : A) xs (f : A → B) (p : B → Bool) → T (p (f x)) →
                 filter p (map f (x ∷ xs)) ≡ f x ∷ filter p (map f xs)
filter-map-def x xs f p _  with p (f x)
filter-map-def x xs f p () | false
filter-map-def x xs f p _  | true = -- not writing refl on purpose
  begin
    filter p (map f (x ∷ xs))
  ≡⟨ refl ⟩
    f x ∷ filter p (map f xs)
  ∎

但是，typechecker不同意我的观点。目前的目标似乎仍为filter p (f x ∷ map f xs) | p (f x)，即使我在p (f x)上匹配模式，filter也不会缩减到f x ∷ filter p (map f xs)。

有没有办法让这个工作≡-Reasoning？

谢谢！

Answer 1

with - 条款的问题在于Agda会忘记从模式匹配中学到的信息，除非您事先安排保存这些信息。

更确切地说，当Agda看到with expression子句时，它会用新变量expression替换当前上下文和目标中w的所有出现，然后为您提供该变量将上下文和目标更新到with子句中，忘记了它的起源。

在你的情况下，你在with-block中写filter p (map f (x ∷ xs))，所以它在Agda执行重写后进入范围，所以Agda已经忘记了p (f x)是{{1}的事实并且不会减少这个词。

您可以使用标准库中的“Inspect” - 模式之一保留相等证明，但我不确定它在您的情况下如何有用。

≡-推理和＆＃39;与＆＃39;模式

1 个答案: