Question

有一项任务是计算一个和，这些数字是一个even number of ones in bin的数字，每个数字都增加到4的幂。问题是最后一个加数是2 ⁶⁴，所以通常的计算需要很长时间。我认为动态编程在这里可以提供帮助，但我无法在这里实现如何使用它。

这是一个例子：

enter image description here

拜托，有人可以帮我解决这个问题吗？

Answer 1

以下是计算价值的方法。

您可以为上限的二进制表示中的每个数字位数计算值。对于每个数字位数，分别计算具有偶数个1的数字的1到4的和与其二进制表示中具有奇数个1的数字的和。拥有这些值你应该能够计算n + 1的值，其中n是二进制表示中的数字位数。

以下是关于如何做到这一点的一些观察：如果你有第k个数的和与偶数个的和，那么将它乘以2 ^ k，你将得到这些数的总和加倍。这些数字仍然会有很多。事实上，每个具有偶数个1的n位数的数字是加倍的数字，其中n-1个数字具有偶数个1，或者是x * 2 + 1，其中x是具有奇数个1的数字并且具有n - 1位数。因此，在二进制表示中具有偶数个并且具有n个数字的数字的第k个度的总和是Se(n,k) = 2^k * Se(n-1, k) + Sum(a : number with odd number of ones and n-1 digits){(2*a + 1)^k}。在这里，我使用Se来表示偶数个数的总和。现在有趣的部分是第二个加数。它可以使用二项式公式计算：

（2 * a + 1）^ k = 2 ^ k * a * k +组合（1，k）*（2 * a）^（k-1）+ ... 1重新组合之后你有： Sum(a : number with odd number of ones and n digits){(2*a + 1)^k} = 2^k*So(n-1,k) + combination(1, k) * 2^(k-1)*So(n-1,k) + combination(2, k) * 2^(k-2)*So(n-1,k) + ...

现在，如果你假设你有n-1计算的So（二进制表示中奇数个数的和），你也可以计算这个总和。

你必须为So（n，k）编写类似的公式：

所以（n，k）= 2 ^ k *（So（n-1，k））+ Sum（a：具有偶数和1到1位数的数字）{（2 * a + 1）^ ķ

请记住，您必须为k = 1，... 4计算此值，以便您可以将它们用于下一次迭代。只有一个音符 - 对于So（n，1）你有So（n，1）= So（n-1,1）* 2 + Se（n-1,1）* 2 + 1，类似Se（n，1））= Se（n-1,1）* 2 + So（n-1,1）。

使用这些公式，您应该能够非常快速地计算出您需要的值。你需要求和Se（1,4）+ Se（2,4）+ ... Se（64,4）。该算法将适用于比给定约束更高的值。请注意，您要搜索的值不适合任何“常规”整数类型。您需要使用某种BigInteger实现。

希望这能回答你的问题。

Answer 2

有formula to calculate the sum of the powers of 4 of all integers from 1 to n：

sum（k ⁴）_{for 1＆lt; = k＆lt; = n} =（6 * n ⁵ + 15 * n ⁴ + 10 * n ³ - n）/ 30

在你的问题中，你只需要总结4个k的幂，它们的二进制表示中有偶数个。并且这个公式不排除具有奇数个的k。

然而，我的直觉告诉我，具有奇数个数的k的4的幂的总和应该与具有偶数个的k的4的幂的总和大致相同。

事实证明，如果你计算k的范围内的这两个总和，这些总和将偶尔完全相同，每32 k一次：

n=   0 OddSum=                   0 EvenSum=                   0 = =
n=   1 OddSum=                   1 EvenSum=                   0  
n=   2 OddSum=                  17 EvenSum=                   0  
n=   3 OddSum=                  17 EvenSum=                  81  
n=   4 OddSum=                 273 EvenSum=                  81  
n=   5 OddSum=                 273 EvenSum=                 706  
n=   6 OddSum=                 273 EvenSum=                2002  
n=   7 OddSum=                2674 EvenSum=                2002  
n=   8 OddSum=                6770 EvenSum=                2002  
n=   9 OddSum=                6770 EvenSum=                8563  
n=  10 OddSum=                6770 EvenSum=               18563  
n=  11 OddSum=               21411 EvenSum=               18563  
n=  12 OddSum=               21411 EvenSum=               39299  
n=  13 OddSum=               49972 EvenSum=               39299  
n=  14 OddSum=               88388 EvenSum=               39299  
n=  15 OddSum=               88388 EvenSum=               89924  
n=  16 OddSum=              153924 EvenSum=               89924  
n=  17 OddSum=              153924 EvenSum=              173445  
n=  18 OddSum=              153924 EvenSum=              278421  
n=  19 OddSum=              284245 EvenSum=              278421  
n=  20 OddSum=              284245 EvenSum=              438421  
n=  21 OddSum=              478726 EvenSum=              438421  
n=  22 OddSum=              712982 EvenSum=              438421  
n=  23 OddSum=              712982 EvenSum=              718262  
n=  24 OddSum=              712982 EvenSum=             1050038  
n=  25 OddSum=             1103607 EvenSum=             1050038  
n=  26 OddSum=             1560583 EvenSum=             1050038  
n=  27 OddSum=             1560583 EvenSum=             1581479  
n=  28 OddSum=             2175239 EvenSum=             1581479  
n=  29 OddSum=             2175239 EvenSum=             2288760  
n=  30 OddSum=             2175239 EvenSum=             3098760  
n=  31 OddSum=             3098760 EvenSum=             3098760 = =
n=  32 OddSum=             4147336 EvenSum=             3098760  
n=  33 OddSum=             4147336 EvenSum=             4284681  
n=  34 OddSum=             4147336 EvenSum=             5621017  
n=  35 OddSum=             5647961 EvenSum=             5621017  
n=  36 OddSum=             5647961 EvenSum=             7300633  
n=  37 OddSum=             7522122 EvenSum=             7300633  
n=  38 OddSum=             9607258 EvenSum=             7300633  
n=  39 OddSum=             9607258 EvenSum=             9614074  
n=  40 OddSum=             9607258 EvenSum=            12174074  
n=  41 OddSum=            12433019 EvenSum=            12174074  
n=  42 OddSum=            15544715 EvenSum=            12174074  
n=  43 OddSum=            15544715 EvenSum=            15592875  
n=  44 OddSum=            19292811 EvenSum=            15592875  
n=  45 OddSum=            19292811 EvenSum=            19693500  
n=  46 OddSum=            19292811 EvenSum=            24170956  
n=  47 OddSum=            24172492 EvenSum=            24170956  
n=  48 OddSum=            24172492 EvenSum=            29479372  
n=  49 OddSum=            29937293 EvenSum=            29479372  
n=  50 OddSum=            36187293 EvenSum=            29479372  
n=  51 OddSum=            36187293 EvenSum=            36244573  
n=  52 OddSum=            43498909 EvenSum=            36244573  
n=  53 OddSum=            43498909 EvenSum=            44135054  
n=  54 OddSum=            43498909 EvenSum=            52638110  
n=  55 OddSum=            52649534 EvenSum=            52638110  
n=  56 OddSum=            62484030 EvenSum=            52638110  
n=  57 OddSum=            62484030 EvenSum=            63194111  
n=  58 OddSum=            62484030 EvenSum=            74510607  
n=  59 OddSum=            74601391 EvenSum=            74510607  
n=  60 OddSum=            74601391 EvenSum=            87470607  
n=  61 OddSum=            88447232 EvenSum=            87470607  
n=  62 OddSum=           103223568 EvenSum=            87470607  
n=  63 OddSum=           103223568 EvenSum=           103223568 = =
n=  64 OddSum=           120000784 EvenSum=           103223568  
...
n=4062 OddSum=  110517674755433207 EvenSum=  110790187795938168  
n=4063 OddSum=  110790187795938168 EvenSum=  110790187795938168 = =
n=4064 OddSum=  111062969223019384 EvenSum=  110790187795938168  
n=4065 OddSum=  111062969223019384 EvenSum=  111063237807788793  
n=4066 OddSum=  111062969223019384 EvenSum=  111336556602699529  
n=4067 OddSum=  111336556999378505 EvenSum=  111336556602699529  
n=4068 OddSum=  111336556999378505 EvenSum=  111610413558992905  
n=4069 OddSum=  111610683334189626 EvenSum=  111610413558992905  
n=4070 OddSum=  111885079246199626 EvenSum=  111610413558992905  
n=4071 OddSum=  111885079246199626 EvenSum=  111885079246980586  
n=4072 OddSum=  111885079246199626 EvenSum=  112160014909822442  
n=4073 OddSum=  112160285082869867 EvenSum=  112160014909822442  
n=4074 OddSum=  112435761292440443 EvenSum=  112160014909822442  
n=4075 OddSum=  112435761292440443 EvenSum=  112435761691463067  
n=4076 OddSum=  112711778845418619 EvenSum=  112435761691463067  
n=4077 OddSum=  112711778845418619 EvenSum=  112712050215144108  
n=4078 OddSum=  112711778845418619 EvenSum=  112988609908991164  
n=4079 OddSum=  112988609908992700 EvenSum=  112988609908991164  
n=4080 OddSum=  112988609908992700 EvenSum=  113265712541951164  
n=4081 OddSum=  113265984311095421 EvenSum=  113265712541951164  
n=4082 OddSum=  113543630682195597 EvenSum=  113265712541951164  
n=4083 OddSum=  113543630682195597 EvenSum=  113543631082001485  
n=4084 OddSum=  113821821591246733 EvenSum=  113543631082001485  
n=4085 OddSum=  113821821591246733 EvenSum=  113822094560202110  
n=4086 OddSum=  113821821591246733 EvenSum=  114100830807798926  
n=4087 OddSum=  114100830808584494 EvenSum=  114100830807798926  
n=4088 OddSum=  114380113196106030 EvenSum=  114100830807798926  
n=4089 OddSum=  114380113196106030 EvenSum=  114380386566045167  
n=4090 OddSum=  114380113196106030 EvenSum=  114660215895655167  
n=4091 OddSum=  114660216297816991 EvenSum=  114660215895655167  
n=4092 OddSum=  114660216297816991 EvenSum=  114940592970302463  
n=4093 OddSum=  114940867546334192 EvenSum=  114940592970302463  
n=4094 OddSum=  115221793169753088 EvenSum=  114940592970302463  
n=4095 OddSum=  115221793169753088 EvenSum=  115221793169753088 = =
...

如果没有正式的证据，我建议答案是：

（（6 * n ⁵ + 15 * n ⁴ + 10 * n ³ - n）/ 30）/ 2

其中n = 2 ⁶⁴ -1。

用大量的加数来计算总和

2 个答案: