Question

有没有人知道如何在处理大的和负的实数时更准确地使下面的Matlab代码接近指数函数？

例如，当x = 1时，代码效果很好，当x = -100时，它应该更接近3.7201e-44时返回8.7364e + 31的答案。

代码如下：

s=1
a=1;
y=1;
for k=1:40
    a=a/k;
    y=y*x;
    s=s+a*y;
end
s

欢迎任何帮助，欢呼。

编辑：

好的，问题如下：

这段代码接近哪个数学函数？ （我说指数函数。） x = 1时是否有效？ （是的。）不幸的是，当x = -100时使用它会产生答案s = 8.7364e + 31。您的同事认为该程序中存在一个愚蠢的错误，并请求您的帮助。仔细解释行为并给出一个简单的修复，产生更好的结果。 [您必须建议对上述代码进行修改，或者使用它。您还必须检查简单修复的工作原理。]

所以我有点明白，当术语之间存在16个（或更多）数量级时，问题就围绕着大数字，精度会丢失，但解决方案却让我望而却步。

由于

编辑：

所以最后我接受了这个：

s = 1;
x = -100;
a = 1;
y = 1;
x1 = 1;

for k=1:40
    x1 = x/10;
    a = a/k;
    y = y*x1;
    s = s + a*y;
end

s = s^10;
s

不确定它是否完全正确，但它会返回一些好的近似值。

exp（-100）= 3.720075976020836e-044
s = 3.722053303838800e-044

经过进一步分析（不幸的是提交作业），我意识到增加迭代次数，从而增加术语，进一步提高了效率。事实上，以下效率更高：

s = 1;
x = -100;
a = 1;
y = 1;
x1 = 1;

for k=1:200
    x1 = x/200;
    a = a/k;
    y = y*x1;
    s = s + a*y;
end

s = s^200;
s

由此给出：

exp（-100）= 3.720075976020836e-044
s = 3.720075976020701e-044

Answer 1

正如约翰在评论中指出的那样，你在循环中有一个错误。 y = y * k线不能满足你的需要。仔细查看exp（x）系列中的术语。

无论如何，我认为这就是为什么你被赋予这个家庭作业的原因，要知道像这样的系列对于大值不能很好地收敛。相反，你应该考虑如何减少范围。

例如，您可以使用身份

exp(x+y) = exp(x)*exp(y)

对你有利吗？假设您存储exp（1）= 2.7182818284590452353 ...

的值

现在，如果我要求你计算exp（1.3）的值，你会如何使用上述信息？

exp(1.3) = exp(1)*exp(0.3)

但我们已经知道exp（1）的价值了。实际上，只需稍加思考，就可以将指数范围缩小到需要系列仅在abs（x）<= 0.5时快速收敛的范围。

编辑：第二种方法是使用相同身份的变体进行范围缩减。

exp(x) = exp(x/2)*exp(x/2) = exp(x/2)^2

因此，假设您希望计算大数的指数，可能是12.8。让这个快速收敛可以在简单的系列中使用很多术语，并且会发生大量的减法取消，所以无论如何你都不会获得良好的准确性。但是，如果我们认识到

12.8 = 2*6.4 = 2*2*3.2 = ... = 16*0.8

然后，如果您能够有效地计算0.8的指数，那么期望的值很容易恢复，可能是通过重复的平方。

exp(12.8)
ans =
          362217.449611248

a = exp(0.8)
a =
          2.22554092849247
a = a*a;
a = a*a;
a = a*a;
a = a*a
          362217.449611249

exp(0.8)^16
ans =
          362217.449611249

请注意，除非您使用此类方法进行范围缩小，但由于需要进行额外的计算，您可能会遇到数值问题，但由于系列的收敛性大大提高，您通常会提前退出。

Answer 2

为什么你认为这是错误的答案？看看那个序列的最后一个术语，它的大小，告诉我为什么你应该得到一个接近0的答案。

我原来的答案说明了问题就是出现了错误。这个将成为这个基本方法的问题，但为什么你认为40对于适当的数学（与计算机浮点运算相反）答案是足够的。

100 ^ 40/40！〜= 10 ^ 31。

Woodchip有一个正确的想法，减少范围。这是人们用来快速实现这些功能的典型方法。一旦你弄明白了，就可以处理交替序列的舍入误差，通过对循环内的相邻项求和，并以k = 1：2：40（例如）步进。在你使用木片的想法之前，这不起作用，因为对于x = -100，对于非常长时间的加法增长。你需要| x | ＆LT; 1保证中间术语缩小，因此重写将起作用。

Matlab代码近似指数函数

2 个答案: