在一个项目上工作我遇到了这个问题，我将在这个问题的真正领域之外进行重新讨论（我想我可以谈论烟花和形状的口径，但它会使理解更加复杂化）。我正在寻找一种（可能是近似的）算法来解决它。
我有 n 各种尺寸的容器， m 具有不同大小的和不同颜色的对象（对象可以是多色的，所以对象的颜色确实是一个集合。
我的目标是将所有物体装入容器（我已经知道可能），以便每个容器的颜色种类最少。随着“各种颜色的最小化”，我的意思是每个容器的不同颜色数量的总和是最小的。
一个例子。我有两个大小为2的容器和四个对象，其颜色为{red}，{red，green}，{blue}，{blue，green}，每个大小为1.最佳解决方案是[{red} ，{red，green}]，[{blue}，{blue，green}]，其中总品种为2 + 2 = 4。更糟糕的解决方案是[{red}，{blue}]，[{red，green}，{blue，green}]，其中总种类为2 + 3 = 5.
我的猜测是问题是NP难，因为它听起来比背包问题更困难：对象的值转换为负值，而且还取决于同一容器内的其他对象。但我不知道如何解决近似解决方案的问题，无论如何都会受到欢迎。
答案 0 :(得分：3)
此问题似乎与bin-packing problem有更多共同点，而不是背包问题。在knapsack problem中，你只需要一个背包来填充，但它有一个你不能超过的容量。而且你必须这样做，同时最大化你选择投入的物品的总价值。在这里，你不必用尽所有物品。
但是，在装箱问题中，您有多个容器，每个容器都有容量。您有兴趣在将每个物品装入某个箱子时尽量减少箱子的数量。您还必须尊重每个bin的容量限制。与背包不同，在这里你必须用完所有物品。
在你的情况下，你也试图减少垃圾箱的数量，只有它们不能容纳少于两个。而且你也想要用完所有对象。你没有多说容量约束，但我假设你也必须尊重它。到目前为止，它看起来非常像垃圾箱包装问题。您还有一个额外的约束：最小化每个容器中的颜色数。
现在，我开始分享你对NP-hard的预感 - 它拥有bin-packing和一个额外约束的所有元素。通过使用所有颜色为红色的对象的实例，可以很容易地显示减少垃圾箱包装。我们只需要在NP中显示问题 - 即我们可以在多项式时间内验证结果。你去了，我们在那里有一个非正式的证明！
这是一个可能有帮助的贪心启发式。
表示：不考虑使用集合，而是考虑长度为 k 的位序列，其中 k 是您拥有的不同颜色的数量。所以，说你有3种颜色 - 红色，绿色，蓝色。您将[蓝色] 001，[绿色，蓝色]表示为011，[红色]表示为100，等等。
使用比较函数按颜色位序列对项目进行排序，这样会导致排序，例如001,010,100,011,110,111。您可以将这样的比较函数设计为加权函数。比特序列Hamming weight及其实际数值。
请注意，许多颜色模式（位序列）最有可能被许多对象共享。这些对象将在排序列表中显示为连续对象。
遍历排序列表，将相同颜色模式的连续项目分配给同一个bin。您可以选择单色到多色项目。
你继续这样做，直到你耗尽每个垃圾箱的容量。
另一种方法是以相反的顺序开始填充箱。从具有最大颜色数量的对象开始。如果它们可以适合，再次将连续对象填充到同一个bin中。当你到达颜色较少的项目时，将它们装入已经覆盖了这种颜色的现有垃圾箱中。
这两种方法都不是最优的，但是嘿，我们不知道吗？我们刚刚勾勒出一个非正式的证据，证明问题是NP难的。
祝你好运！