假设我们有一个标有数字的边缘的DAG。将路径的值定义为标签的乘积。对于每个（源，接收器）对，我想找到从源到接收器的所有路径的值的总和。您可以使用动态编程在多项式时间内执行此操作，但仍然可以在如何分解问题时做出一些选择。在我的情况下，我有一个DAG必须使用不同的标签重复评估。我的问题是：对于给定的DAG，我们如何预先计算一个好的策略来重复计算不同标签的这些值？如果有一种算法可以找到最佳方式，那将是很好的，例如一种最小化乘法次数的方法。但也许这个问题太多了，我会对一个只能给出良好分解的算法感到非常满意。
答案 0 :(得分：1)
设S为源集合，V为DAG的顶点集合，E为边集合，n = | V |，m = | S |，W为存储边权重的nxn矩阵，并且C是m×n矩阵，使得C [i，j]在算法结束时保持从i到j的所有路径的值的总和。 为了简化算法的解释和正确性证明，我假设从1到n的图的顶点是拓扑排序的，其中节点1到m是源。这会将O（| E | + | V |）添加到算法的运行时间：
以下是算法的伪代码：
1: set C[i,j] to 1 if i=j and i is a source node, and to 0 otherwise.
2: sort the DAG topologically
3: for k=1 to n (vertex traversal in the topological order)
4: foreach predecessor k' of vertex k
5: foreach i in S
6: C[i,k] += C[i,k']*W[k',k]
两个外部循环总共有O（| E | + | V |）迭代。因此，算法的运行时间为O（（| V | + | E |）。m），假设加法和乘法需要恒定的时间。这包括拓扑排序的时间。
正确性证明：我们通过归纳证明，在最外层循环的第k次迭代完成后，C [i，k]是从i到i的所有路径的值的总和s中每个i的k
基础案例：对于k = 1显而易见（因为第一个元素没有任何前辈）
归纳：假设对于所有j <1，正确计算C [i，j]。 ķ。从任何源i到k的所有路径必须通过k的前驱k'。由于我们以拓扑顺序迭代，因此k'必须小于k，并且根据我们的归纳假设C [i，k']是从i到k'的路径值的总和。此外，通过特定前驱k'的从i到k的路径的值的总和等于从i到k'的路径的值的总和，即，C [i，k']，乘以W [k ”，K]。因此，从i到k的所有路径的值的总和是在k的所有前驱k'上的C [i，k'] * W [k'，k]的和。
相同的图形结构，不同的W矩阵：如果我们需要为具有相同结构但不同W的不同图形计算矩阵C，我们可以执行以下操作：设C'为矩阵元素是3元组的列表。用
替换上面的第6行C'[i,k].append((i,k',k))
然后通过迭代拓扑顺序中的顶点并迭代C'[i，k]中的元组，您可以在不查看图形结构的情况下计算C [i，k]。那是因为元组隐式表示图结构。就复杂性而言，这不是更好或更糟。