编辑：

Question

我需要计算a*a mod n，但a相当大，当我对它进行调整时会导致溢出。执行((a % n)*(a % n)) % n不起作用，因为（n-1）²可能会溢出。这是用C ++编写的，我正在使用int64_t

编辑：

示例值：a = 821037907258，n = 800000000000，如果你将其平方后会溢出。

我正在使用DevCPP，我已经尝试过让大整数库工作无效。

编辑2：

不，这些数字没有模式。

Answer 1

如果您不能使用大整数库，并且没有原生uint128_t（或类似），则需要手动执行此操作。

一种选择是将a表示为两个32位量的总和，即 a = 2 ³² b + c ，其中 b 包含32个字节， c 包含32个lbs。然后，平方是一组四次交叉乘法;每个结果都保证适合64位类型。然后，在重新组合各个术语时进行模运算（仔细考虑重新调整所有内容所需的变化）。

Answer 2

我知道您不再需要这个，并且有另一种解决方案，但我想添加一种替代方法来实现它。它提供了两种不同的技术：double and add algorithm和处理溢出检测mod(a + b, n)的方法。

Double和add算法通常用于无法进行乘法或直接计算代价太高的领域（例如椭圆曲线），但我们可以采用它来处理它，以便处理溢出。

以下代码可能比接受的解决方案慢（即使你优化它），但如果速度不是很关键，你可能更喜欢它以便清晰。

unsigned addmod(unsigned x, unsigned y, unsigned n)
{
    // Precondition: x<n, y<n
    // If it will overflow, use alternative calculation
    if (x + y <= x) x = x - (n - y);
    else x = (x + y) % n;
    return x;
}

unsigned sqrmod(unsigned a, unsigned n)
{
    unsigned b;
    unsigned sum = 0;

    // Make sure original number is less than n
    a = a % n;

    // Use double and add algorithm to calculate a*a mod n
    for (b = a; b != 0; b >>= 1) {
        if (b & 1) {
            sum = addmod(sum, a, n);
        }
        a = addmod(a, a, n);
    }
    return sum;
}

Answer 3

这是乘法a * b % m的双重加法实现，没有溢出，无论a，b和m的大小。

（注意，res -= m和temp_b -= m行依赖于64位无符号整数溢出，以便给出预期的结果。这应该没问题，因为无符号整数溢出在C和C中定义良好C ++。因此它是important to use unsigned integer types。）

uint64_t mulmod(uint64_t a, uint64_t b, uint64_t m) {
    uint64_t res = 0;
    uint64_t temp_b;

    /* Only needed if b may be >= m */
    if (b >= m) {
        if (m > UINT64_MAX / 2u)
            b -= m;
        else
            b %= m;
    }

    while (a != 0) {
        if (a & 1) {
            /* Add b to res, modulo m, without overflow */
            if (b >= m - res) /* Equiv to if (res + b >= m), without overflow */
                res -= m;
            res += b;
        }
        a >>= 1;

        /* Double b, modulo m */
        temp_b = b;
        if (b >= m - b)       /* Equiv to if (2 * b >= m), without overflow */
            temp_b -= m;
        b += temp_b;
    }
    return res;
}

这是my modification的another answer to another similar question。

Answer 4

您可以自己实现乘法，每次运行时添加 n ，然后立即修改结果。

Answer 5

我真的认为((a % n)*(a % n)) % n应该适用于正整数。为什么你认为它不起作用？你有反例吗？如果n可能为负数，则%运算符未定义。

计算没有溢出的* a mod n

编辑：

编辑2：

5 个答案: