Question

计算满足等式的前n个的最快方法是什么

a ^ n mod m = 1

这里a，n，m可以是素数或复合物 mod：是模数运算符

Answer 1

直接方式有什么问题：

int mod_order(int m, int a) {
    for(int n = 1, an = a; n != m; n++, an = an * a % m) if(an % m == 1) return n;
    return -1;
}

Answer 2

如果gcd（a，m）> 1，那么就没有这样的n。（明显）
否则，如果m为素数，则n = m-1。（Proof）
否则（和更一般情况一样），n =ф（m），其中ф是欧拉的整数函数。（Proof）

如您所见，计算ф（m）与m的因子分解基本相同。这可以在sqrt（m）时间内或更快时间内完成，具体取决于您使用的算法的复杂程度。简单的一个：

int phi(m){
  if(m==1) return 1;
  for(int d=2; d*d<m; ++d){
    if(m%d != 0) continue;
    int deg = 1; long acc=1;
    for(; m%(acc*d)==0; ++deg) acc*=d;
    acc /= d;
    return phi(m/acc)*acc*(d-1)/d;
  }
  return m-1;
}

更新：我的不好。 a ^（ф（m））= 1（mod m），但是n的值可以较小（a = 1，n = 1，没有差别是m; a = 14，m = 15，n = 2）。 n是ф（m）的除数，但有效地计算最小可能n似乎很棘手。通过使用this定理可以划分任务（对于相应的余数，所有度数的最小n是最小公倍数）。但是当m是素数或者具有足够大的素数时，并且只有一个a（而不是计算n对于许多不同的a具有相同的m），我们就没有选择了。您可能需要查看1，2。

计算n其中a ^ n mod m = 1？

2 个答案: