点和框解算算法

Question

我目前正在开发一个“dots and boxes”程序，其中输入由计算机自动生成，我们的输出就是我们要做的动作。我将与其他玩家（他们的算法）竞争。

我将点和盒子板表示为Python中的矩阵。赢得游戏是首要任务：算法效率并不重要。

在给定电路板的情况下，是否有最好的，不复杂的算法来自动确定我们应该采取什么措施？

P.S。 - 如果你想要的话，你不需要给我任何代码......英语算法是完全可以接受的。

Answer 1

我认为minimax不是点和盒算法的最佳选择。关于这个游戏的完整故事你真的需要阅读这本书The Dots and Boxes Game: Sophisticated Child's Play by Elwyn R. Berlekamp，但我会在这里给你一个简短的总结。

Berlekamp做了许多有力的观察。第一个是双交叉策略，我假设你知道（它在Wikipedia page on the game中描述）。

第二个是长链的奇偶校验规则。这是关于大多数精彩游戏的三个事实：

1. 长链将在游戏结束时播放。
2. 除了最后一个链外，每个链中都会有一个双十字。
3. 首先必须在任何长链中进行比赛的球员都会输掉比赛。

加上你开始的点数加上双十字数的约束，等于游戏中的回合数。因此，如果有十六个点开始，并且有一个双十字，则将有十七个回合。 （在大多数游戏中，这意味着第一个玩家将获胜。）

这极大地简化了对游戏中期位置的分析。例如，考虑这个位置有16个点和11个移动（问题3.3来自Berlekamp的书）。什么是最好的举措？



好吧，如果有两个长链，则会有一个双十字架，游戏将在另外六个动作（16 + 1 = 11 + 6）之后结束，并且移动的玩家将会失败。但是如果只有一条长链，则不会有双交叉，并且游戏将在另外五次移动后结束（16 + 0 = 11 + 5）并且移动的玩家将获胜。那么玩家怎样才能确保只有一条长链呢？唯一获胜的举动牺牲了两个盒子：



Minimax会发现这一举动，但需要做更多工作。

第三个也是最有力的观察是点和方框是impartial game：无论轮到谁发挥，可用的动作都是相同的，并且在比赛过程中出现的典型位置（是，包含长链盒子的那些）它也是normal game：最后一个移动获胜者。这些属性的组合意味着可以使用Sprague–Grundy theory静态分析位置。

以下是使用Berlekamp的书中的图25来说明这种方法有多强大的例子。



这个位置有33个可能的动作，一个精心打造的游戏持续大约20个动作，所以如果minimax在合理的时间内完成分析是可行的，我会感到惊讶。但该位置有一个长链（上半部分的六个方块链），因此可以静态分析。该位置分为三个部分，其值为nimbers：



这些nimbers可以通过动态编程在时间O（2 ⁿ ）中计算出 n 剩余的位置，你将会可能想要缓存许多常见小位置的结果。

Nimbers使用exclusive或：* * 1 + * 4 + * 2 = * 7添加。因此，唯一的获胜动作（将nim-sum减少到* 0的动作）是将* 4改变为* 3（使得位置sum为* 1 + * 3 + * 2 = * 0）。三个虚线红色动作中的任何一个都获胜：



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编辑添加：我知道这个摘要并不真正构成算法，并留下了许多未回答的问题。对于一些答案，你可以阅读Berlekamp的书。但是在开幕式方面存在一些差距：链计数和Sprague-Grundy理论实际上只适用于中期和末期。对于开场你需要尝试新的东西：如果是我，我会试着尝试Monte Carlo tree search直到可以计算链。这项技术为Go游戏创造了奇迹，也可能在这里很有效率。

Answer 2

此游戏为zero sum game，因此我建议使用min-max algorithm。 deep-blue使用该算法在国际象棋中赢得卡斯帕罗夫。

创建启发式函数，该函数评估游戏的每个状态，并将其用作min-max算法的评估函数。

您还可以使用alpha-beta prunning来提高min-max。

min-max的想法是彻底搜索所有可能的移动 [通常达到某个深度，因为你需要过去的状态是深度数量的指数]，并选择了最好的举动，假设你的对手也会做出最好的举动。

P.S。

  

赢得游戏是首要任务：算法效率不是这样   重要的。

它们紧密连接在一起，因为您的算法效率越高，您就能够检查可能的解决方案，直到更好的深度，并且您将获得更好的机会。请注意，在无限时间内，您可以浏览整个游戏树，并从每个游戏状态中获得一个获胜策略。然而 - 探索整个游戏树可能是不现实的。

Answer 3

我认为Gareth上面的回答非常好，但只是添加（我没有任何声誉来添加评论）已经显示了点和框（至少有一个草图）是np-很难根据这个：arxiv.org/pdf/cs/0106019v2.pdf

我写了一个javascript版本的点和框，试图结合上面提到的策略dotsandboxes.org。它不是最好的可用（还没有包含Gareth提到的所有技术），但图形很好，它击败了大多数人和其他实现:)随意查看代码，还有一些其他链接到其他人们可以训练你的游戏版本。