构造覆盖顶点的特定子集的最小生成树

Question

我有一个无向的正边缘权重图（V，E）我想要一个覆盖顶点 k 顶点的最小生成树 V （Steiner树问题）。

我不是将生成树的大小限制为 k 顶点;而我确切地知道哪些 k 顶点必须包含在MST中。

从整个MST开始，我可以削减边缘/节点，直到我得到包含所有 k 的最小MST。

我可以使用Prim的算法来获取整个MST，并在子集k的MST未被破坏时开始删除边/节点;或者我可以使用Floyd-Warshall获得所有对最短路径并以某种方式结合路径。有没有更好的方法来解决这个问题？

Answer 1

这里发生了很多混乱。根据OP的说法：

  

我没有将生成树的大小限制为k个顶点;而且我确切地知道哪些 k 顶点必须包含在MST中。

这是图上的Steiner树问题。 这不是k-MST问题。 Steiner树问题定义如下：

  

给定加权图G =（V，E），顶点的子集S⊆V，   根r∈V，我们想找到一个连接S中所有顶点的最小权重树   河 1

正如其他人所提到的，这个问题是NP难的。因此，您可以使用近似算法。

早/简近似算法

两种着名的方法是 Takahashi的方法和 Kruskal的方法（两者都由Rayward-Smith扩展/改进）：< / p>

• Takahashi H，Matsuyama A：图中Steiner问题的近似解。数学。 Jap 1980,24：573-577。
• Kruskal JB：关于图的最短跨越子树和旅行商问题。在“美国数学学会学报”第7卷; 1956：48-50
• Rayward-Smith VJ，Clare A：找到Steiner顶点。 Networks 1986,16：283-294。

Takahashi的最短路径近似（由Rayward-Smith修改）

Kruskal的近似算法（由Rayward-Smith修改）

现代/更高级的近似算法

在生物学方面，最近的方法已经使用腔体方法处理了这个问题，这导致了一种改进的信念传播方式。在大型数据集上表现出良好准确性的方法：

• Bayati，M.，Borgs，C.，Braunstein，A.，Chayes，J.，Ramezanpour，A.，Zecchina，R。：steiner trees的统计力学。物理学。莱特牧师。 101（3），037208（2008）15。
• 对于应用：用于最佳子网识别的Steiner树方法：实证研究。 BMC生物信息学。 BMC Bioinformatics 2013 30; 14：144。 Epub 2013年4月30日。

在搜索引擎问题的背景下，方法关注的是非常大的数据集的效率，可以在一定程度上进行预处理。

• -G。 Bhalotia，A。Hulgeri，C。Nakhe，S。Chakrabarti和S. Sudarshan。使用BANKS在数据库中搜索和浏览关键字。在ICDE，第431-440页。
• -G。 Kasneci，M。Ramanath，M。Sozio，F。M. Suchanek和G. Weikum。 STAR：关系图中的Steiner树近似。在ICDE'09，第868-879页，2009年

Answer 2

你说的问题是一个着名的NP难题，叫Steiner tree in graphs。在多项式时间内没有已知的解，许多人认为不存在这样的解。

Answer 3

在限制图（ k ， E'）上运行Prim的算法，其中 E' = {（ x ， y ）∈ V ： x ∈ k 和 y ∈ķ}）。构造该图需要O（| E |）。