Question

我正在尝试计算一个依赖图的部分“拓扑排序”，它实际上是一个精确的DAG（有向无环图）;以便并行地执行没有冲突的依赖的任务。

我提出了这个简单的算法，因为我在Google上找到的并不是那么有用（我一直只能找到并行运行的算法来计算正常的拓扑排序）。

visit(node)
{
    maxdist = 0;
    foreach (e : in_edge(node))
    {
        maxdist = max(maxdist, 1 + visit(source(e)))
    }
    distance[node] = maxdist;
    return distance[node];
}

make_partial_ordering(node)
{
    set all node distances to +infinite;
    num_levels = visit(node, 0);
    return sort(nodes, by increasing distance) where distances < +infinite;
}

（请注意，这只是伪代码，肯定会有一些可能的小优化）

至于正确性，似乎很明显：对于叶子（：=没有进一步依赖性的节点），叶子的最大距离总是0（正确，因为循环因0边缘而被跳过）。对于连接到节点n1，..，nk的任何节点，最大叶距离为1 + max {distance [n1]，..，distance [nk]}。

在我写下算法后，我确实找到了这篇文章：http://msdn.microsoft.com/en-us/magazine/dd569760.aspx 但说实话，他们为什么要做所有列表复制等等，它看起来真的很低效......？

无论如何，我想知道我的算法是否正确，如果是这样，它被称为什么，以便我可以阅读一些关于它的东西。

更新：我在我的程序中实现了算法，它似乎对我测试的所有内容都很有效。代码方式看起来像这样：

  typedef boost::graph_traits<my_graph> my_graph_traits;
  typedef my_graph_traits::vertices_size_type vertices_size_type;
  typedef my_graph_traits::vertex_descriptor vertex;
  typedef my_graph_traits::edge_descriptor edge;

  vertices_size_type find_partial_ordering(vertex v,
      std::map<vertices_size_type, std::set<vertex> >& distance_map)
  {
      vertices_size_type d = 0;

      BOOST_FOREACH(edge e, in_edges(v))
      {
          d = std::max(d, 1 + find_partial_ordering(source(e), distance_map));
      }

      distance_map[d].insert(v);

      return d;
  }

Answer 1

您的算法（C ++）有效，但它的最坏情况时间复杂度非常差。它计算节点上find_partial_ordering的路径数和该节点的路径数。在树的情况下，路径的数量是1，但在一般有向无环图中，路径的数量可以是指数。

您可以通过memoizing find_partial_ordering结果修复此问题，并在已经计算出特定节点的值时不返回而返回。但是，这仍然会给你一个堆栈破坏的递归解决方案。

An efficient (linear) algorithm for topological sorting is given on Wikipedia。这不符合您的需求吗？

编辑：啊，我知道，你想知道深度边界的位置，这样你就可以在给定的深度上并行化所有东西。您仍然可以在维基百科上使用该算法（以避免递归）。

首先，使用维基百科上的算法进行拓扑排序。现在通过以拓扑顺序访问节点来计算深度：

depths : array 1..n
for i in 1..n
    depths[i] = 0
    for j in children of i
        depths[i] = max(depths[i], depths[j] + 1)
return depths

请注意，上面没有递归，只是一个普通的O(|V| + |E|)算法。这与维基百科上的算法具有相同的复杂性。

计算依赖图的部分排序的算法

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