Question

之间有什么区别

严格/非严格的订购，
弱/非弱排序，
部分/总订购？

Answer 1

让 X 成为一个集合。关系＆lt; ⊆ X × X 是部分排序，如果

对于所有 x ∈ X ，我们永远不会有 x ＆lt; X ，
每当 x ＆lt; y ，我们永远不会 y ＆lt; x 和
每当 x ＆lt; y 和 y ＆lt; z ，我们有 x ＆lt; ž

总排序是具有附加属性的部分排序，对于任何两个 x 和 y ，我们只有一个 X ＆LT; y 或 y ＆lt; x 或 x = y 。

X 上的弱排序是（据我所知）部分排序＆lt;具有附加属性，即商集 X /〜上的诱导排序是总排序，其中[ x ] = [ y ]∈ X /〜当且仅当 x ＆lt; y 也 y ＆lt; x 保留在 X 。

换句话说，在部分排序中，可以比较一些元素，并且如果可以进行比较，则排序是一致的。部分排序的例子：

集合 X 的正确子集，其中 A ＆lt; B 表示 A ⊊ B 。
a 的自然数＆lt; b 表示“ a 划分 b ”。
C ++中的模板专业化。

总排序是一个所有元素，一次排列，形成一个统一的顺序。

如果您愿意将多个元素放在一起并将它们视为等同于订购目的，那么弱排序就是总排序。

术语“严格”是指使用“＆lt;”作为一种定义关系，而不是“≤”。您可以看到如何根据≤重写所有定义很容易，例如：在部分排序中，我们总是有 x ≤x等

以下是两个C ++模板特化的示例。当然，两者都是部分订购的，但第一种也是完全有序的。

示例＃1：

template <typename T> struct Foo {};               // A1
template <typename U> struct Foo<U*> {};           // A2
template <> struct Foo<int*> {};                   // A3

这些专业化完全按照A3＆lt; A2＆lt; A1，其中“＆lt;”意思是“比专业更专业。”

示例＃2：

template <typename T1, typename T2> struct Bar {}; // B1
template <typename U> struct Bar<int, U> {};       // B2a
template <typename V> struct Bar<V, int> {};       // B2b
template <> struct Bar<int, int> {};               // B3

这一次，我们有B3＆lt; B2b＆lt; B1和B3＆lt; B2a＆lt; B1，但B2a和B2b 不可比较。

在C ++中，这表现在以下方面：如果没有定义专门化B3，那么尝试实例化Bar<int, int>会导致编译器错误，因为没有明确的“最专业”专门化。

部分有序集合可以包含许多“最少”元素和“最大”元素，因为这些概念只能说出可比较的元素。在B1，B2a和B2b中，B2a和B2b都是“最少元素”，因为没有更小的元素。尽管如此，没有一个独特的最小元素。

Answer 2

简单地说，严格的弱排序被定义为定义（可计算的）等价关系的排序。等价类按严格的弱排序排序：严格的弱排序是等价类的严格排序。

部分排序（不是严格的弱排序）没有定义等价关系，因此使用“等效元素”概念的任何规范对于严格的弱排序都是没有意义的。所有STL关联容器在某些时候使用这个概念，因此所有这些规范在严格的弱排序中都没有意义。

因为部分排序（不是严格的弱排序）没有定义任何严格排序，所以你不能根据部分排序在公共sens中“排序元素”（你所能做的只是一个“拓扑排序”，它具有较弱的属性）。

鉴于

数学集S
对<

S

x

S

您可以定义S的分区（S的每个元素都在L(x)，I(x)或G(x)中：

L(x) = { y in S | y<x }
I(x) = { y in S | not(y<x) and not(x<y) }
G(x) = { y in S | x<y }

 L(x) : set of elements less than x
 I(x) : set of elements incomparable with x
 G(x) : set of elements greater than x

对序列中的每个<按照x iff 对序列进行排序，L(x)的元素首先出现在序列中，然后是元素I(x)，后跟G(x)的元素。

对于序列中另一个元素y之后出现的每个元素x，序列在拓扑上排序 iff ，y不小于{{1 }}。这是一个比排序更弱的约束。

证明x的每个元素都小于L(x)的任何元素都是微不足道的。 G(x)的元素与L(x)的元素之间，或I(x)的元素与I(x)的元素之间没有一般关系。但是，如果G(x)是严格弱关系，则<的每个元素都小于L(x)的任何元素，并且I(x)的任何元素都小于任何元素I(x)。

如果G(x)是严格弱关系，<则x<y的任何元素都小于任何元素L(x) U I(x)：任何元素不大于I(y) U G(y) }小于任何不小于x的元素。 这不适用于部分订购。

总的，弱的，部分的排序 - 完整的定义

2 个答案: