Question

我正在编写一些代码来解决二阶微分方程，但它给出了一个完全错误的结果。我认为问题在于以正确的方式表达欧拉方法。我还尝试了另一个二阶ODE，但我也在接近y（x）时失败了。你能指出错误的位置吗？请参阅图表和代码：

解决ODE：

y"(x)=-1001y'(x)-1000y(x)

y(0)=1, y'(0)=0

分析解决方案：

y(x)=(1000exp(-x)-exp(-1000x))/999

重写为2个ODE的系统;

y'(x)=v(x)

v'(x)=-1001v(x)-1000y(x)=f(x,y,v)

y(0)=1,v(0)=0

Jupyter Notebook（Python）中的代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

a=-0.0020
b=0.0
h=0.0005 #step size
x=np.arange(a,b,h)
n=int((b-a)/h)

def y_exact(x):
    return (1000*np.exp(-x)-np.exp(-1000*x))/999
def f(y,v):
    return -1001*v-1000*y

y_eu=np.zeros(n,float)
y_ei=np.zeros(n,float)

y_eu[0]=1.0
y_ei[0]=1.0

v_eu[0]=0.0
v_ei[0]=0.0

for j in range(0,n-1):
    #Euler's method (explicit)
    y_eu[j+1]=y_eu[j]+v_eu[j]*h
    v_eu[j+1]=v_eu[j]+f(y_eu[j],v_eu[j])*h

    #Implicit Euler's method
    v_ei[j+1]=(v_ei[j]-1000*y_ei[j]*h)/(1+1001*h+1000*h**2)   
    y_ei[j+1]=y_ei[j]+v_ei[j+1]*h
 plt.plot(x,y_exact(x),label="Exact solution")
 plt.plot(x,y_eu,label="Euler's method")
 plt.plot(x,y_ei,label="Implicit Euler's method")
 plt.legend()
 plt.show()

谢谢！

Answer 1

感谢评论员Maarten Fabre的回答。代码无法正常工作，因为初始条件，即Euler方法的y0和v0被错误地采用：

equals

用python解决二阶ODE

1 个答案: