Question

给内容没有循环的树（例如最小生成树：http://fr.wikipedia.org/wiki/Fichier:Minimum_spanning_tree.svg）如果用作root用户，如何计算哪个节点最小化树深度？

Answer 1

所有树都没有循环。根据定义，树是一个无循环的连通图。如果有一个顶点，答案是微不足道的。所以假设至少有两个顶点。

让 u 和 v 为两个顶点，使它们的距离 d （ u ， v ）是最大的。应该很容易看出，如果沿着最短的 uv 路径选择一个顶点作为根，深度将至少 ceiling （ d （ u ， v ）/ 2）。还应该注意的是，如果选择一个顶点作为不在该路径上的根，则深度将大于 ceiling （ d （ u ， v ）/ 2）。

假设我们已选择根 r 作为沿最小 uv 路径的中间顶点，以便 d （ u ， r ）= 上限（ d （ u ， v ）/ 2）和 d （ r ， v ）≤上限（ d （ u ， v ）/ 2）。如果有另一个顶点 w ，那么 d （ r ， w ）＆gt; 上限（ d （ u ， v ）/ 2），我们将 d （ u ， r ）＆lt; d （ w ， r ）然后，因为树中任意两个不同顶点之间只有一条路径，我们有 d （ u ， v ）= d （ u ， r ）+ d （ r ， v ）＆lt; d （ u ， r ）+ d （ r ， w ）= d （ u ， w ），这与 u 和 v相矛盾距离最远。所以现在深度，以 r 为根， ceiling （ d （ u ， v））/ 2）。

所以我们需要找到距离最大的两个顶点。一旦我们这样做，我们可以使用 uv 的最短路径寻找算法，注意长度，并沿着所述路径中途遍历并使用该中间顶点作为根。

我们如何找到这些顶点？选择一个顶点 w 并将其放入队列中。当队列非空时，将队列中下一个顶点的邻居添加到队列的末尾。当队列为空时，请记下最近删除的顶点。这将是你。再次执行该过程，您将 v 。

为什么这样做？上述算法从 w 中找到距离最远的顶点。如果 w 恰好是 u 或 v ，算法会清楚地找到 v 或 u ，分别。因此，假设 w 既不是 u 也不是 v 。如果算法在第一遍中找到了 u 或 v ，那么它将会起作用（因为它会在第二遍中找到另一个），所以假设，通过矛盾的是，在第一次传递之后，它发现 x ，使得它不是树的最大路径的终点。从三角不等式中我们得到 d （ u ， v ）≤ d （ u ， w ）+ d （ w ， v ）和 d （< em> v ， x ）≤ d （ v ， w ）+ d （ w ， x ）。从第一个减去第二个，我们 d （ u ， v ） - d （ v < / em>， x ）≤ d （ u ， w ） - d （ w ， x ）。然后，我们可以将其重新排列为 d （ u ， v ）+ d （ w ， x ）≤ d （ u ， w ）+ d （< em> v ， x ）。由于 d （ w ， u ）≤ d （ w ， x ）（ x 是来自 w 的最大路径的终点; wu 不能超过 wx ）和 d （ v ， x ）＆lt; d （ u ， v ）（ x 不是最大路径的结尾），我们可以加强不等于 d （ u ， v ）+ d （ w ， x ）＆lt; d （ u ， v ）+ d （ w ， x ）。但是，这是不可能的，因此 x 必须位于最大路径的末尾。

Answer 2

在选择直径的中间节点作为根之后，查找树的diameter。为了找到直径运行两个BFS，第一个BFS从随机节点v开始，从v找到最远的节点，命名为x，第二个BFS从x名称找到最远的节点它y。现在x和y之间的路径是直径。

Answer 3

我认为以下算法可能有用（我没有验证它），从图表的任何树表示开始。

S = set of all leaves of the tree
foreach node in S: mark(node)
repeat:
  # at each iteration, S is the set of all nodes at
  # a given min distance to a leave
  # initially this distance is 0, then 1, etc.
  S' = empty set
  foreach node in S:
    parent = parent(node)
    if !marked(parent): S' += parent; mark(parent)
  if S' is empty then S contains all innermost nodes, we are done
  S = S' and continue

找到最小化树深度的根

3 个答案: