在NxNxN二进制数组中查找仅包含1的最大长方体

Question

给定一个NxNxN二进制数组（只包含0或1），我们如何用非平凡解，即在O（N ^ 3）中得到最大的长方体？

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Find largest rectangle containing only zeros in an N×N binary matrix与上层维度相同。 另外，在我的例子中，最大的矩形可以“穿过阵列的边缘”，即空间就像是2D矩阵的圆环。

对于2D数组，如果条目是：

00111
00111
11000
00000
00111

'X'描述的解决方案是

00XXX
00XXX
11000
00000
00XXX

我已经完成了NxN二进制数组的计算，并按照http://tech-queries.blogspot.de/2011/03/maximum-area-rectangle-in-histogram.html中的想法找到了O（N ^ 2）中最大矩形问题的解决方案。 但我不知道如何将它应用于3D阵列。

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解决方案“越过边缘”的3x3x3阵列示例：

111
100
011

111
001
111

011
110
011

解决方案应该是：

1XX
100
0XX

1XX
001
1XX

0XX
110
0XX

Answer 1

这里只有O（N ^ 4）。

假设您将cubiod存储在bool cuboid [N] [N] [N]中;

bool array2d[N][N];

for(int x_min = 0; x_min < N; x_min++) {
   //initializing array2d
   for(int y = 0; y < N; y++) {
      for(int z = 0; z < N; z++) {
         array2d[y][z] = true;
      }
   }

   //computation
   for(int x_max = x_min; x_max < N; x_max++) {
      // now we want to find largest cube that
      // X coordinates are equal to x_min and x_max

      // cells at y,z can be used in cube if and only if
      // there are only 1's in cuboid[x][y][z] where x_min <= x <= x_max

      // so lets compute for each cell in array2d,
      // if are only 1's in cuboid[x][y][z] where x_min <= x <= x_max
      for(int y = 0; y < N; y++) {
         for(int z = 0; z < N; z++) {
            array2d[y][z] &= cubiod[x_max][y][z];
         }
      }

      //you already know how to find largest rectangle in 2d in O(N^2)
      local_volume = (x_max - x_min + 1) * find_largest_area(array2d);

      largest_volume = max(largest_volumne, local_volume);
   }
}

您可以使用相同的技巧来计算X维度中的最佳解决方案。只需将问题减少到X-1尺寸。复杂性：O（N ^（2 * X-2））。

Answer 2

该溶液具有O（N ³ log ² N）复杂性（可以优化为O（N ³ log N））。将需要额外的整数数组，大小为2 * 8 * N ³ 。

1. 计算r（i，j，k）：对于每个N ² 行，计算所有非零元素的累积和，在找到零元素时重置它。
2. 使用Golden section search（或斐波纳契搜索）找到最大结果，对K的各种值执行以下步骤。
3. 计算c（i，j，k）：对于每个N ² 列，计算r（i，j，k）> = K的所有元素的累积和，重置它当具有r（i，j，k）this answer。
4. 对M的各种值执行最后一步，使用黄金分割搜索找到最大结果。
5. 计算和：对于第3个坐标的每个N ² 值，计算所有元素的累积和，其中c（i，j，k）> = M，当元素与c（i，j，k）＆lt;找到了M。计算总和 K M并在必要时更新最佳结果。
以明显的方式处理数组的“越过边缘”属性：迭代每个索引两次并保持所有累积和不大于N.

对于多维情况，该算法具有O（N ^D log ^D-1 N）时间复杂度和O（D * N ^D ）空间复杂性。

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对O（N ³ log N）

的优化

算法的第4步设置M的全局值。如果M的值是在本地确定的，则可以排除此步骤（并且复杂性降低 log N ）。

为此，应该改进第5步。它应该保持一个双端队列（其头部包含M的本地值）和一个堆栈（保持M的所有值的起始位置，从队列中逐出）。

当c（i，j，k）增加时，它会附加到队列的尾部。

如果c（i，j，k）减小，则从队列的尾部删除所有较大的值。如果它进一步减少（队列为空），则使用堆栈恢复'sum'值并将相应的'M'值放入队列。

然后，如果允许增加本地解决方案的值，则可以从队列的头部删除几个元素（并推送到堆栈）。

对于多维情况，此优化给出了O（N ^D log ^D-2 N）的复杂性。