count整数的设置位数

Question

我正在研究关于比特计数的不同方法，或者给定整数的人口计数方法fopr，在这几天，我试图弄清楚以下算法是如何工作的

pop(x)=-sum(x<<i)   where i=0:31

我认为在计算x的每个值后，我们将得到

x+2*x+4*x+8*x+16*x+..............+2^31*x  =4294967294*x

如果我们将它乘以-1，我们得到-4294967294*x，但它如何计算位数？请帮助我理解这个方法。谢谢

Answer 1

我相信你的意思

如本书Hacker's Delight的封面所示，其中符号表示左 - 旋转未离开 shift ，这将产生错误的结果和downvotes

此方法有效，因为旋转将导致 x 的所有二进制数字出现在所有术语的每个可能位中，并且由于2的补码。

举一个更简单的例子。考虑只有4个二进制数字的数字，其中数字可以表示为ABCD，然后求和意味着：

  ABCD  // x <<rot 0
+ BCDA  // x <<rot 1
+ CDAB  // x <<rot 2
+ DABC  // x <<rot 3

我们注意到每列都有A，B，C，D。现在，ABCD实际上意味着“2³A+2²B+2¹C+2⁰D”，所以总和只是：

  2³ A        + 2² B        + 2¹ C        + 2⁰ D
+ 2³ B        + 2² C        + 2¹ D        + 2⁰ A
+ 2³ C        + 2² D        + 2¹ A        + 2⁰ B
+ 2³ D        + 2² A        + 2¹ B        + 2⁰ C
——————————————————————————————————————————————————————
= 2³(A+B+C+D) + 2²(B+C+D+A) + 2¹(C+D+A+B) + 2⁰(D+A+B+C)
= (2³ + 2² + 2¹ + 2⁰) × (A + B + C + D)

（A + B + C + D）是 x 的总体数，而（2³+2²+2¹+2⁰）= 0b1111在2的补码中是-1，因此求和是人口数量为负。

参数可以很容易地扩展到32位数字。

Answer 2

#include <stdio.h>
#include <conio.h>

unsigned int f (unsigned int a , unsigned int b);

unsigned int f (unsigned int a , unsigned int b)
{
   return a ?   f ( (a&b) << 1, a ^b) : b;
}

int bitcount(int n) {
    int tot = 0;

    int i;
    for (i = 1; i <= n; i = i<<1)
        if (n & i)
            ++tot;

    return tot;
}

int bitcount_sparse_ones(int n) {
    int tot = 0;

    while (n) {
        ++tot;
        n &= n - 1;
    }

    return tot;
}

int main()
{

int a = 12;
int b = 18;

int c = f(a,b);
printf("Sum = %d\n", c);

int  CountA = bitcount(a);
int  CountB = bitcount(b);

int CntA = bitcount_sparse_ones(a);
int CntB = bitcount_sparse_ones(b);

printf("CountA = %d and CountB = %d\n", CountA, CountB);
printf("CntA = %d and CntB = %d\n", CntA, CntB);
getch();

return 0;

}