我发现很难理解在Hill Cipher算法中计算矩阵的逆矩阵的方式。我知道这一切都是在模运算中完成的，但不知怎的，事情并没有增加。我真的很感激一个简单的解释！
考虑以下Hill Cipher密钥矩阵：
5 8
17 3
请使用上面的矩阵进行说明。
答案 0 :(得分：19)
您必须学习属于Linear congruence theorem的extended GCD algorithm和Number Theory，才能了解modulo arithmetic背后的数学知识。
矩阵K的逆是例如（1 / det（K））* adjoint（K），其中det（K）＆lt;＆gt; 0
我假设您不理解如何计算模运算中的1/det(K)，这里是线性同余和GCD发挥作用的地方。
你的K有det（K）= - 121。让我们说模m是26.我们想要 x *（ - 121）= 1（mod 26）。
[a = b（mod m）意味着ab = N * M]
我们可以很容易地发现，对于 x = 3 ，上述同余是正确的，因为26完全划分（3 *（ - 121）-1）。当然，正确的方法是反向使用GCD来计算x，但我没有时间解释它是如何做的。检查扩展的GCD算法:)
现在，inv（K）= 3 *（[3 -8]，[ - 17 5]）（mod 26）=（[9 -24]，[ - 51 15]）（mod 26）= （[9 2]，[1 15]）。
更新：查看Basics of Computational Number Theory，了解如何使用Extended Euclidean算法计算模块化逆。请注意-121 mod 26 = 9，因此对于gcd(9, 26) = 1，我们会得到(-1, 3)。
答案 1 :(得分：0)
在我非常谦虚的意见中，通过使用Gauss-Jordan方法计算逆矩阵（模块化或其他）更容易。这样您就不必计算行列式，并且该方法可以非常简单地扩展到任意大型系统。
只需查看'Gauss Jordan Matrix Inverse' - 但总而言之，您只需将一个单位矩阵的副本连接到要反转的矩阵右侧，然后使用行操作来减少矩阵的求解，直到它本身为止是一个单位矩阵。此时，相邻的单位矩阵已成为原始矩阵的逆矩阵。瞧！