Question

如果我要加密26个符号的字母集，那么山密码中使用的密钥与加密35个字母集的密钥有什么不同？

Answer 1

这个想法并没有改变，只是计算略有不同。我记得你在Hill Cipher上的最后一个问题，你真的想为它实现一个CBC模式。而不是计算mod 26，我建议你选择计算mod 256 - 这样你就可以很容易地来回映射密钥，IV和结果密文的字节表示。此外，它允许您使用空格和其他标点符号，您甚至可以使用UTF-8或类似的编码为您的消息。

密钥的概念不会改变mod 256，但它的计算方式会略有不同。不是选择在Z ^ n / 26中可逆的n×n矩阵，而是必须选择在Z ^ n / 256中可逆的矩阵。假设你选择一个3 x 3矩阵，它仍然可以很容易地反转，那么你可以检查你选择的密钥（矩阵）是否是可逆的，检查模数为256的非零行列式，如Wikipedia article中所述。。键的字节数组表示将只是一个长度为9的数组，从矩阵到数组的直接映射：element（1,2）（假设从零开始索引）将是数组的第五个元素（ 1 * 3 + 2）等。

然后，您可以将消息拆分为3字节块（如果最后一个块未对齐到三个字节，则使用某种形式的填充），表示要与键矩阵相乘的向量，从而再次产生3字节输出块。

正如你所看到的，使用mod 256表示非常简洁，因为加密/解密这种方式可以使用相同的接口，也可以用于最先进的块密码，如AES，即你通过将基于字节数组键的加密/解密函数应用于分成适当大小的块/块的消息来加密消息。

在Z ^ n / 256

中生成3x3加密和解密矩阵

生成加密矩阵只需要创建一个随机3x3矩阵，其中包含Z256中的元素，直到找到一个具有非零行列式（mod 256）和模块化逆元素mod 256（我们将使用扩展欧几里得算法计算））。然后，计算逆矩阵遵循与计算常规3x3矩阵逆相同的规则，除了所有计算都需要在Z256中进行的事实。有一个用于计算3x3矩阵求逆的闭合公式，如here所示。我们可以使用Z256中的模运算来计算完全相同的东西，以得到Z ^ n / 256的逆。

这里有一些生成密钥矩阵的Ruby代码及其逆序：

require 'matrix'

class Integer
  def modinv(modulus)
    a, b = modulus, self
    q, r = a / b, a % b
    t0, t1 = 0, 1

    while r > 0
      t0, t1 = t1, (t0 - q * t1) % modulus
      a, b = b, r
      q, r = a / b, a % b
    end

    raise RuntimeError.new("#{self} has no inverse modulo #{modulus}") unless b == 1
    t1
  end
end

while true
  m = Matrix.build(3) { rand(0..256) }
  mod_det = m.determinant % 256
  next if mod_det == 0
  begin
    det_inv = mod_det.modinv(256)
    break
  rescue RuntimeError => e
    next
  end
end

inv = Matrix[
  [ (m[2,2]*m[1,1] - m[2,1]*m[1,2]), -(m[2,2]*m[0,1] - m[2,1]*m[0,2]),  (m[1,2]*m[0,1] - m[1,1]*m[0,2])],
  [-(m[2,2]*m[1,0] - m[2,0]*m[1,2]),  (m[2,2]*m[0,0] - m[2,0]*m[0,2]), -(m[1,2]*m[0,0] - m[1,0]*m[0,2])],
  [ (m[2,1]*m[1,0] - m[2,0]*m[1,1]), -(m[2,1]*m[0,0] - m[2,0]*m[0,1]),  (m[1,1]*m[0,0] - m[1,0]*m[0,1])]
].map { |e| e * det_inv % 256 }

p m #=> encryption matrix
p inv #=> decryption matrix
identity = (inv * m).map { |e| e % 256 }
p identity #=> living proof that m * inv is the identity matrix

示例输出：

m   = Matrix[[167, 8, 48], [54, 107, 25], [170, 184, 107]]
inv = Matrix[[119, 152, 136], [184, 235, 231], [174, 120, 59]]

如果要加密的字母数量发生变化，Hill Cipher密钥会有所不同吗？

1 个答案:

在Z ^ n / 256