快速排序和插入排序混合预期运行时间

Question

我正在自学CLRS第3版，这是我遇到的更强硬的问题之一及其答案作为对所有人的服务。

7.4-5 我们可以利用这个优势，在实践中改善快速排序的运行时间 当输入“几乎”排序时，插入排序的快速运行时间。打电话 快速排序使用少于k个元素的子数组，让它简单地返回 对子阵列进行排序。在对quicksort的顶级调用返回后，运行插入排序 在整个阵列上完成排序过程。认为这种排序算法 在O(nk+nlg(n/k))预期时间内运行。理论上我们应该怎样选择k 并在实践中？

Answer 1

如果您计算等式nlgn > nk + nlog(n/k)，则会得到log k > k。这是不可能的。因此在理论上它是不可能的。但在实践中，插入排序和快速排序涉及不变因素。看看这个pdf中讨论的解决方案。您可能想要更新您的答案。 。

Answer 2

实际上，答案是k = 8。

您获得的算法是两个匿名函数的组合，其中一个是O(nk)，另一个是O(n lg n/k)。这些匿名函数隐藏了平均大小写常量。插入排序在n^2/4时间内以平均情况运行，随机快速排序在1.386 n lg n中以平均情况运行。我们希望找到k的值，以最小化等于nk/4 + 1.386( n lg n/k )的{​​{1}}的值。这意味着找到函数nk/4 + 1.386 n lg n - 1.386 n lg k的最大值。该最大值出现在1.386 lg k - k/4。

Answer 3

叶子在1到k之间的大小概率相等 所以叶子的预期大小是k/2 如果叶子的预期大小为k/2，那么我们期望n/(k/2)=(2n)/k这样的叶子 为简单起见，我们假设我们期望n/k这样的叶子，并且每个叶子的预期大小为k。
INSERTION-SORT的预计运行时间为O(n^2) 我们发现在练习5.2-5和问题2-4c中 因此INSERTION-SORT使用的预计运行时间为O((n/k)*(k^2))=O(nk) 如果我们希望我们的分区组大小为k，那么递归树的高度应该是lgn-lgk=lg(n/k)，因为我们希望先前停止lgk。 递归树的每个级别都有O(n)次操作 这导致我们O(nlg(n/k)) 我们得出结论，预计运行时间为O(nk+nlg(n/k))。

理论上，我们应该选择k=lgn，因为这样我们就可以获得O(nlgn)的最佳预期运行时间。

在实践中，我们应该k选择lgn周围的一个值，这样可以提供比仅运行RANDOMIZED-QUICKSORT更好的性能。

答案的第二部分使用了大O符号，因此为了更精确地选择k，请按照Ankush在第二个答案中给出的链接。