我正在读一些关于计算机视觉的论文。这看起来像一个简单的事实，但我无法理解。它是关于用于平面投影变换的同质[3×3]矩阵。据说它有八个独立的矩阵元素比例。我不知道比率是多少，八个独立比率是多少？请帮我解决这个问题。
谢谢。
答案 0 :(得分：8)
这意味着两个投影变换P和kP是等价的。
考虑2D中的一个点：它可以通过向量[x,y]以非齐次坐标表示。在齐次坐标中表示的相同点将是[x',y',w]其中
x = x' / w
y = y' / w
如您所见，w表现为缩放因子。
将齐次坐标除以w，得到[x'/w, y'/w, 1] = [x,y,1]。因此，2D点只有两个自由度。
您可以将相同的推理应用于3x3矩阵。在9个元素中，只有8个是独立的，而最后一个元素可以看作是缩放因子。实际上你选择的九个中的哪一个并不重要。
有关其他信息：Homogeneous coordinates
编辑：
DOF的数量是独立参数的数量。在2D点的示例中，即使我们有三个参数（x'，y'，w），也只有两个独立的比率：如前所示，如果除以w您的第一个两个参数成为分数（“比率”表示除法），而第三个参数只是1。
对于3D点，它是相同的推理，但您必须考虑z轴：通用3D点是[x',y',z',w]（4个参数），但是，如果我们除以{{1}它变为w所以三个独立的比率。
我总是除以[x'/w, y'/w, z'/w, 1]，因为比率w，x'/w，y'/w具有特定含义（点的非齐次坐标），但是计算你可以使用任何其他参数的自由度。
让我们考虑一个2x2矩阵的例子（对于3x3它是相同的，它只需要输入更长时间）：
z'/w 4个参数。按照您选择的其中一个划分（好吧，实际上是我选择的......），说m11 m12
m21 m22
它变成
m12 3个比率，因此三个自由度（对于通用的2x2矩阵）。例如，如果我们有m11 1
---
m12
m21 m22
--- ---
m12 m12
，我们就会得到
m21 = m12因此在这种情况下我们只有2个自由度！不要因为您看到m11
--- 1
m12
m22
1 ---
m12
，m11和m22（三个参数）而感到困惑，因为实际上您可以考虑m12和a = m11/m12，因此它变成
b= m22/m12这意味着两个独立的参数，因此两个自由度。
希望现在更清楚