Question

我有n个大小为n_1，n_2，...，n_n的AVL树，因此sum（n_i）= n。我可以在较大的线性时间内合并两个AVL。我可以在多长时间内合并这些n树？感谢任何帮助

Answer 1

如果您有不同的树，那么您需要进行总共（k-1）次合并以将它们一起收集到一棵树中。所以问题是每次合并需要多长时间。

假设您采用的策略是始终将两个最小的树合并在一起。如果在执行此操作时有可用的m树，则第二小的树的大小将主导合并的运行时。此大小最多为（n - 1）/（k - 1），当最小的树只有一个元素而所有其他树都包含其中的所有元素时，就会发生这种情况。这意味着如果你进行k合并，费用将是

N - 1   N - 1   N - 1         N - 1
----- + ----- + ----- + ... + -----
K - 1   K - 2   K - 3           1

但这是（n-1）H（k-1），其中H（k-1）是（k-1）st harmonic number。整个表达式则为O（n log k），因此合并时完成的总工作量为O（n log k）。

然而，最重要的是，你必须有一些简单的方法在每个点找到两棵最小的树。这可以通过优先级队列来完成，该优先级队列按大小的降序存储树。您将有k-1轮从树中进行两次出列，然后进行一次入队，因此所有优先级队列操作的总时间为O（k log k）。这也是O（n log k），因此算法的总运行时间为O（n log k）。

我很确定你不能比这更好，因为你可以从他们自己的AVL树中的每个n个节点开始（k = n）。如果你可以比Ω（n log n）更快地合并，那么你可以通过构建通过合并所有较小树而形成的AVL树，然后在O中进行顺序遍历，仅使用比较来比Ω（n log n）排序更快（n log n） n）排序时间优于Ω（n log n），is known to be impossible。

希望这有帮助！

合并n个AVL树

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