Question

如果我们有两个数字，比如说a and b那么我们如何才能找到sum of b%i where i ranges from 1 to a的值？一种方法是迭代从1到a的所有值，但是有没有有效的方法？（优于O（n）？）例如：如果a = 4且b = 5则需要ans = 5％1 + 5％2 + 5％3 + 5％4 = 4 感谢。

Answer 1

对于i > b，我们有b % i == b，因此可以在恒定时间内轻松计算总和的一部分（(a-b)*b，如果a >= b，则为0）。

i <= b的部分仍有待计算（i == b给出0，因此可以忽略）。你可以用O（sqrt（b））步骤

来做到这一点

对于i <= sqrt(b)，请计算b % i并添加到总和
对于i > sqrt(b)，请k = floor(b/i)，然后b % i == b - k*i和k < sqrt(b)。因此，对于k = 1到ceiling(sqrt(b))-1，请hi = floor(b/k)和lo = floor(b/(k+1))。有hi - lo个数字i，k*i <= b < (k+1)*i，b % i的总和为sum_{ lo < i <= hi } (b - k*i) = (hi - lo)*b - k*(hi-lo)*(hi+lo+1)/2。

如果a <= sqrt(b)，则只应用第一个项目符号，停在a。如果sqrt(b) < a < b在第二个项目符号中从k = floor(b/a)运行到ceiling(sqrt(b))-1并将最小k的上限调整为a。

总体复杂度O（min（a，sqrt（b）））。

代码（C）：

#include <stdlib.h>
#include <stdio.h>
#include <math.h>

unsigned long long usqrt(unsigned long long n);
unsigned long long modSum(unsigned long long a, unsigned long long b);

int main(int argc, char *argv[]){
    unsigned long long a, b;
    b = (argc > 1) ? strtoull(argv[argc-1],NULL,0) : 10000;
    a = (argc > 2) ? strtoull(argv[1],NULL,0) : b;
    printf("Sum of moduli %llu %% i for 1 <= i <= %llu: %llu\n",b,a,modSum(a,b));
    return EXIT_SUCCESS;
}

unsigned long long usqrt(unsigned long long n){
    unsigned long long r = (unsigned long long)sqrt(n);
    while(r*r > n) --r;
    while(r*(r+2) < n) ++r;
    return r;
}

unsigned long long modSum(unsigned long long a, unsigned long long b){
    if (a < 2 || b == 0){
        return 0;
    }
    unsigned long long sum = 0, i, l, u, r = usqrt(b);
    if (b < a){
        sum += (a-b)*b;
    }
    u = (a < r) ? a : r;
    for(i = 2; i <= u; ++i){
        sum += b%i;
    }
    if (r < a){
        u = (a < b) ? a : (b-1);
        i = b/u;
        l = b/(i+1);
        do{
            sum += (u-l)*b;
            sum -= i*(u-l)*(u+l+1)/2;
            ++i;
            u = l;
            l = b/(i+1);
        }while(u > r);
    }
    return sum;
}

找到范围内的mod操作的总和

1 个答案: