Question

如果给定集合L={1,2,3,...,N}和整数k，是否可以有效地计算大小为k的“非相邻”子集的数量？如果S中的x S x-1 x+1，则S中的L={1,2,3,4}不属于k=2。

例如，对于{1,3},{1,4},{2,4}和k=3，答案是3，因为我们有 {{1}}。对于{{1}}，答案为零。

一种方法是生成所有大小为2的非相邻子集，然后尝试所有可能的联合（因为非相邻集合具有其所有子集都不相邻的属性），但这让我非常感兴趣浪费，可能有一个甜美优雅的高效解决方案。

Answer 1

以这种方式思考：如果您知道集合L'={1, 2, 3, ..., N - 1}的答案是什么，您是否可以使用该信息为集合L构建答案？我们的想法是，当您向N添加L'时，新解决方案由L'可用的所有子集以及L'的每个元素的1个新子集组成。小于或等于N - 2*(k - 1)，因此，如果L'的解决方案的大小为V'，则V L的解决方案将为V = V' + (N - 2*(k - 1)) }}
如果你再多做一点，你会发现解决方案可以表示为第一个N - 2k + 2自然整数的总和。

关于小于或等于N - 2*(k - 1)部分，添加的新数字N将仅添加到最终数量小于或等于该表达式结果的子集，因为必须有{正在构建新子集中的{1}}个元素（包括数字k本身，因此需要N个）彼此相隔至少2个数字，这使得距离为{来自数字k - 1的{1}}，以及表达式。

Answer 2

这可能与Win32的解决方案一样，但我不确定。所以我将它单独发布。

将S（n）作为大小为n的连续序列的非相邻子集的数量（即，S（n）是您正在寻找的解决方案）。

让我们计算S（n + 1），即我们在序列中添加元素时的值。当我们添加元素k时，我们增加该序列的非相邻子集的数量。我们可以将这些 new 子集分解为以下类别。

仅包含我们添加的新元素的子集。只有其中一个（{k}）。
我们可以添加k的子集仍然保留我们的非相邻标准（加上k）。我们可以将k添加到任何不包含k-1的子集中，同时保持非邻接性。另一种说法是我们可以将k添加到最多包含k-2的子集。并且包含最多k-2的子集的数量等于S（n-1）。

因此，当我们向序列中添加k时，新的非相邻子集的数量是1 + S（n-1）。换句话说，1 + S（n-1）= S（n + 1）-S（n）。我们可以重新排列这个公式得到S（n + 1）= 1 + S（n-1）+ S（n）。

递归解决方案不是很有用，所以我们可以尝试概括它。我不擅长这一步，但Wolfram|Alpha is，我们发现通用公式等于以下内容。

S（n）= 1/2 *（3 * Fib（n）+ Lucas（n） - 2）

以下是一些示例数据点。

n | S(n)
0 | 0
1 | 1
2 | 2
3 | 4
4 | 7
5 | 12
6 | 20
7 | 33
8 | 54
9 | 88

Answer 3

由S(m,n)表示m中大小为{1,...,n}的非相邻子集的数量。以下是：

S(m,n) = S(m,n-1) + S(m-1,n-2)

因此，通过添加边界条件

，可以通过O(Nk)中的DP解决它

S(1,n) = n
S(m,1) = I(m==1)
S(m,2) = 2*I(m==1)

其中I()是指标函数。

Answer 4

让：

S(n,k)是大小为{1,...n}的{{1}}的非相邻子集

显然，k是一组大小为S(n-1,k)的非相邻子集，它是k的子集。

此外，S(n,k)是一组大小为S(n-2,k-1)的非相邻子集，这些子集中没有一个包含k-1。因此，我们可以安全地将n-1添加到每个子集中，以获取大小为{n}的子集。由于它们不包含k（n-1唯一的相邻元素），因此它们也不相邻。

因此：

n

使用一些实数，让我们尝试解决S(n,k) = S(n-1,k) U ({n} X S(n-2,k-1))。

S(6,3)

哪个符合你的答案。

现在，要计算数字：

让S(6,3) = S(5,3) U ({6} X S(4,2)) S(5,3) = {1,3,5} # Only one solution S(4,2) = S(3,2) U ({4} X S(2,1)) S(3,2) = {1,3} # Only one solution S(2,1) = {1} {2} # All sets of 1 element are non-adjacent {4} X S(2,1) = {1,4} {2,4} # Add {4} to each S(4,2) = {1,3} {1,4} {2,4} {6} X S(4,2) = {1,3,6} {1,4,6} {2,4,6} S(6,3) = {1,3,5} {1,3,6} {1,4,6} {2,4,6}为N(n,k)
中的元素数量

然后：

S(n,k)

我尚未确定封闭形式，但这里有一些计算值：

N(n,k) = N(n-1,k) + N(n-2,k-1)

给定大小的非相邻集合的数量

4 个答案: