Question

我有两个号码x1和x2。对于数字y，我想计算x1和x2的公约数尽可能接近y。

这是否有一个有效的算法？

我相信是时候重新解决我的问题并且更清楚了。这不是关于整数...... 所以，假设我们有两个数字x1和x2。比如说，用户输入一个数字y。我想要找到的是y'接近y的数字，以便x1 % y'和x2 % y'非常小（例如，小于0.02，但是我们可以拨打这个号码LIMIT）。换句话说，我不需要最优算法，但需要很好的近似。

我感谢你们所有的时间和精力，这真的很棒！

Answer 1

我认为没有已知的有效（多项式时间）算法用于此问题，因为从integer factorization到此问题的多项式时间减少。由于没有已知的用于整数分解的多项式时间算法，因此对于您的问题也不可能有已知的算法，因为否则我们确实会有一个用于整数分解的多项式时间算法。

要了解其工作原理，假设您有一个您想要考虑的数字n。现在，使用您想要的任何算法，找到最接近√n的n和n的公因子。由于n的非平凡除数不能大于√n，因此找到（1）除以n的最大整数，或者（2）如果n为素数则为1。然后，您可以将n除以此数字并重复以生成n的所有因子。由于n最多只能有O（log n）个因子，因此对于你的问题，这最多需要求解器的多次迭代，因此我们有一个从整数因子分解到这个问题的多项式时间减少。如上所述，这意味着，至少在公开文献中，没有已知的有效经典算法来解决该问题。可能存在一个，但这将是一个非常重要的结果。

对于否定的答案感到抱歉，希望这会有所帮助！

Answer 2

我认为你可以通过贪婪算法来做到这一点，首先通过常用算法找到GCD命名为d（可以在对数时间内计算），然后在每次除d时找到因子d }到最小可用因子（创建d'），并将|d'-y|与|d-y|进行比较，如果较小则以这种方式继续（并将d'替换为d），否则，将d'乘以最小的消除因子，并再次将其距离与y进行比较。

Answer 3

这很有效，因为我可以得到它：

from fractions import gcd
primes=[i for i in range(2,1000) if all(i%j!=0 for j in range(2,i))] #ensure you have enough primes.. (can improve efficency here)


def f(x1,x2,y):
    _gcd=gcd(x1,x2)
    if _gcd==1:
        return 1
    factors=(i for i in range(2,_gcd+1) if _gcd%i==0) #can improve efficiency here.. e.g. only go up to root(gcd)
    r1=999999999
    r2=999999999
    for i in factors:
        r1=min(r1,y%i)
        r2=min(r2,i-y%i)
    return y-r1 if r1<=r2 else y+r2


print f(8,4,3)
print f(16,12,5)
print f(997,53,44)
print f(2300*2,2300*3,57)

"""
2
4
1
56
"""

Answer 4

找到x1和x2的GCD。
如果GCD <= Y，则返回GCD
目前最佳答案为GCD，最佳距离为GCD - y。
遍历所有数字Y +/- [0 ...最佳距离]
返回第一个整数，它是x1和x2

找到GCD

public int getGCD( int a, int b )
{
   return (b==0) ? a : gcd(b, a%b);
}

找到与y最接近的除数......

public int closestDivisor( int a, int b, int y ){
    int gcd = getGCD( a, b );
    if( gcd <= y ) return gcd;
    int best = gcd - y;
    for( int i = 0; i < best; i++ )
    {
        if( gcd % (i-y) == 0 ) return i - y;
        if( gcd % (i+y) == 0 ) return i + y;
    }
    return gcd;
}

我认为唯一可用的额外优化是将gcd（可能使用筛子？）视为@trinithis建议的因素。

找到最接近某个值的公约数的高效算法？

4 个答案: