Question

我想计算给定pdf的逆累积密度函数（逆cdf）。 pdf直接作为直方图给出，即，N个等距分量的矢量。

我目前的做法是：

cdf = cumsum(pdf);
K = 3;   %// some upsampling factor
maxVal = 1;   %// just for my own usage - a scaling factor
M = length(cdf);
N = M*K;   %// increase resolution for higher accuracy
y = zeros(N, 1);
cursor = 2;
for i=1:N
   desiredF = (i-1)/(N-1)*maxVal;
   while (cursor<M && cdf(cursor)<desiredF)
    cursor = cursor+1;
   end;    

   if (cdf(cursor)==cdf(cursor-1))
       y(i) = cursor-1;
   else        
       alpha = min(1, max(0,(desiredF - cdf(cursor-1))/(cdf(cursor)-cdf(cursor-1))));
       y(i) = ((cursor-1)*(1-alpha) + alpha*cursor )/maxVal;
   end;

end;

y = resample(y, 1, K, 0);

这意味着我使用线性插值进行上采样，反向和下采样直方图。这是一个丑陋的代码，不是非常强大（如果我改变上采样因子，我可以得到非常不同的结果），并且无用的慢......有人可以提出更好的方法吗？

注意：我试图计算的广义逆（在cdf不可逆的情况下）是：

F^{-1}(t) = \inf{x \in R ; F(x)>t }

用F表示累积密度函数

[编辑：实际上，K = 1（即没有上采样）似乎可以给出更准确的结果...]

谢谢！

Answer 1

如果您的输入是以非标准化直方图的形式指定的，那么只需使用内置的quantile()函数就会自动计算指定分位数的数据点，这就是反CDF的作用。如果直方图通过数据点的数量进行归一化（使其成为概率向量），则首先将其乘以数据点的数量。有关quantile()详细信息，请参阅here。基本上，假设给定直方图/数据，第一个参数是固定的，它将quantiles()转换为仅指定概率值p的函数。您可以轻松编写包装函数，以便在必要时使其更方便。这消除了使用cumsum()显式计算CDF的需要。

<强>加

如果我们假设直方图，分类和数据点数分别为h, b, and N，那么：

 h1 = N*h; %// Only if histogram frequencies have been normalized.
 data = [];
 for kk = 1:length(h1)
     data = [data repmat(b(kk), 1, h1(kk))];
 end

 %// Set p to the probability you want the inv-cdf for...
 p = 0.5;
 inv_cdf = quantiles(data,p)

<强>加

对于必须利用现有PDF向量的解决方案，我们可以执行以下操作。假设x_old和pdf_old分别是直方图箱和直方图频率。

 p = 0.5; %// the inv-cdf probability that I want
 num_points_i_want = 100; %// the number of points I want in my histogram vector

 x_new = linspace(min(x_old),max(x_old),num_points_i_want);
 pdf_new = interp1(x_old,pdf_old,x_new);
 cdf_new = cumsum(pdf_new);
 inv_cdf = min(x_new(cdf_new >= p));

或者，我们可以先创建cumsum() CDF并在其上使用interp1()，如果不希望首先进行插值。

Answer 2

好吧，我认为我找到了一个更短的版本，它的工作速度至少同样快：

cdf = cumsum(pdf);
M = length(cdf);
xx = linspace(0,1,M);
invcdf = interp1(cdf,xx,xx)

[编辑：不，这实际上仍然比初始代码慢两到三倍......不要问我原因！并且它不处理非严格单调的函数：这会产生错误：“X的值应该是不同的”]

cdf的反转

2 个答案: