Question

我在数学上很弱，总是遇到需要回答模数的问题。

例如：（500！/ 20！）mod 1000000007

我熟悉BigIntegers但计算因子500后计算模数（即使在使用DP之后）似乎需要花费很多时间。

我想知道是否有一种接近/处理这类问题的特殊方法。

这是我目前要解决的一个问题： http://www.codechef.com/FEB12/problems/WCOUNT

如果有人可以指导我处理这些编码问题的教程或方法，那将会非常有用。我熟悉Java和C ++。

Answer 1

这些大数模数任务的关键是在执行模数之前不计算完整结果。 您应该减少中间步骤中的模数以保持数字小：

500! / 20! = 21 * 22 * 23 * ... * 500

21 * 22 * 23 * 24 * 25 * 26 * 27 = 4475671200

4475671200 mod 1000000007 = 475671172
475671172 * 28 mod 1000000007 = 318792725
318792725 * 29 mod 1000000007 = 244988962
244988962 * 30 mod 1000000007 = 349668811

...

 31768431 * 500 mod 1000000007 = 884215395

500! / 20! mod 1000000007 = 884215395

您不需要在每一步都减少模数。只要经常这样做就可以防止数量过大。

注意long的最大值是2 ^ 63 - 1.因此，在两个正整数值之间执行64位乘法（即其中一个操作数是long）将不会溢出{{ 1}}。您可以安全地执行余数操作long（如果这也是正数）并在需要时强制转换为整数。

Answer 2

首先观察500!/20!是21到500之间所有数字的乘积，然后观察您可以逐项执行模乘，在每次操作结束时取%1000000007 。你现在应该可以编写程序了。注意不要溢出数字：32位可能不够。

Answer 3

我认为这可能会对您有所帮助

for(mod=prime,res=1,i=20;i<501;i++)
{
res*=i; // an obvious step to be done 
if(res>mod) // check if the number exceeds mod
res%=mod; // so as to avoid the modulo as it is costly operation 
}

Answer 4

在大多数编程比赛中，我们都需要以10 ^ 9 + 7模的方式回答结果。这背后的原因是，如果问题约束是大整数，则只有高效的算法才能在允许的有限时间内解决它们。

什么是模运算：
在两个操作数上进行除法运算后获得的余数称为模运算。进行模运算的运算符为“％”。例如：a％b = c，这意味着，当a除以b时，将得到余数c，7％2 = 1、17％3 =2。
我们为什么需要取模：

采用Mod的原因是为了防止整数溢出。 C / C ++中最大的整数数据类型是64位无符号long long int，可以处理从0到（2 ^ 64 – 1）的整数。但是在某些产出增长率很高的问题中，这种高范围的无符号长久可能不足。假设在64位变量“ A”中存储了2 ^ 62，在另一个64位变量“ B”中存储了2 ^ 63。当我们将A和B相乘时，系统不会给出运行时错误或异常。它只是进行一些伪计算并存储伪结果，因为结果的位大小是在乘法溢出之后得出的。
在某些问题中，需要计算模逆的结果，并且该数字很有用，因为它是质数。同样，这个数字应该足够大，否则模块化逆向技术在某些情况下可能会失败。
由于这些原因，问题解决者需要给出一些 N 取模的结果。
N的值取决于某些条件：

它应该足够大以适合最大的整数数据类型，即确保没有结果溢出。
它应该是质数，因为如果我们将质数取为质数，则结果通常是隔开的，即与非质数的质数相比，结果是非常不同的结果，这就是质数为通常用于mod。
10 ^ 9 + 7满足两个条件。它是前10位素数，也适合int数据类型。实际上，任何小于2 ^ 30的质数都可以，以防止可能的溢出。
如何使用模数：
模的一些分布特性如下：
（a + b）％c =（（a％c）+（b％c））％c
（a * b）％c =（（a％c）*（b％c））％c
（a – b）％c =（（a％c）–（b％c））％c
~~（a / b）％c =（（a％c）/（b％c））％c~~

因此，模是分布在+，*和–上，而不是分布在/ [有关详细信息，请参考Modular除法] 注意：（a％b）的结果将始终小于b。对于计算机程序，由于变量限制的大小，我们在每个中间阶段执行模M，以使范围溢出永远不会发生。

Example:
a = 145785635595363569532135132
b = 3151635135413512165131321321
c = 999874455222222200651351351
m = 1000000007
Print (a*b*c)%m.

Method 1:
First, multiply all the number and then take modulo:
(a*b*c)%m = (459405448184212290893339835148809
515332440033400818566717735644307024625348601572) % 
1000000007
a*b*c does not fit even in the unsigned long long 
int due to which system drop some of its most 
significant digits. Therefore, it gives the wrong answer.
(a*b*c)%m = 798848767

Method 2:
Take modulo at each intermediate steps:
i = 1
i = (i*a) % m    // i = 508086243
i = (i*b) % m    // i = 144702857
i = (i*c) % m    // i = 798848767
i = 798848767 

Method 2 always gives the correct answer.

使用模但在不同位置查找大量阶乘的函数。

参考：https://www.geeksforgeeks.org/modulo-1097-1000000007/

需要帮助mod 1000000007的问题

4 个答案: