Question

我有两个问题。我必须计算两个方程式：

X = A - inv（B）* Y * inv（B）

和

X = Y + A'* inv（B）* A

其中，A，B和Y是已知的p * p矩阵（p可以小或大，取决于情况）。矩阵非常密集，没有任何结构（当然B除非是单数）。

是否可以在不反转矩阵B的情况下求解这些方程中的X？我必须计算这些方程n次，n为数百或数千，并且所有矩阵随时间变化。

非常感谢。

Answer 1

如果您可以通过以下条款表达对矩阵B的更新：

Bnew = B + u*s*v

然后您可以使用Sherman-Morrison-Woodbury公式明确表达对inv(B)的更新：

inv(B + u*s*v) = inv(B) - inv(B)*u*inv(s + v*inv(B)*u)*v*inv(B)

如果你和v是向量（分别是列和行）并且s是标量，那么这个表达式简化了：

inv(B + u*s*v) = inv(B) - inv(B)*u*v*inv(B)/(s + v*inv(B)*u)

您只需计算inv(B)一次，然后在更改时更新，无需其他反转。

最好不要计算y和（ynew-y）或a和（anew-a）上的完全逆，只是简单的“矩阵划分”，这取决于“n”相对于“p”的大小在你的问题。

Answer 2

Memo-ize inv（B），即只在它改变时反转B，并保持反转。

如果对B的更改很小，可能您可以使用增量近似。