Question

给定n-by-m矩阵A，保证n> m = rank（A），并给出n-by-1列v，检查[A v]的最快方法是什么？排名严格大于A？

对于我的应用，A是稀疏的，n约为2 ^ 12，m在1：n-1中的任何位置。比较等级（完整（[A v]））在我的机器上花费大约一秒钟，我需要做数万次，所以我很乐意发现更快的方式。

Answer 1

如果你能负担得起零空间的一个计算，就没有必要重复求解。只需调用一次null就足够了。给定新的向量V，如果具有V和零空间基的点积不为零，则V将增加矩阵的秩。例如，假设我们有矩阵M，当然其等级为2.

M = [1 1;2 2;3 1;4 2];
nullM = null(M')';

如果我们将它附加到M，新的列向量[1; 1; 1; 1]会增加等级吗？

nullM*[1;1;1;1]
ans =
       -0.0321573705742971
        -0.602164651199413

是的，因为它在nullM中的至少一个基础向量上具有非零投影。

这个载体怎么样：

nullM*[0;0;1;1]
ans =
      1.11022302462516e-16
      2.22044604925031e-16

在这种情况下，两个数字基本上都为零，因此有问题的向量不会增加M的等级。

重点是，一旦生成零空间基础，只需要简单的矩阵向量乘法。如果你的矩阵太大（并且矩阵几乎满级），那么对null的调用将在这里失败，那么你将需要做更多的工作。但是，只要矩阵没有太多列，n = 4096就不会过大。

如果null太大，则另一种选择是调用svds，以找到基本上为零的奇异向量。这些将形成我们需要的零空间基础。

Answer 2

我会将sprank用于稀疏矩阵。看看它，它可能比任何其他方法更快。

编辑：正如@IanHincks正确指出的那样，它不是排名。我将在这里留下答案，以防万一其他人将来需要它。

Answer 3

也许你可以尝试解决系统A*x=v，如果它有一个解决方案，意味着排名不会增加。

x=(B\A)';
norm(A*x-B) %% if this is small then the rank does not increase