Question

在Project Euler中，a problem要求我编写一个程序，以便从谐波序列中找到20个项的收敛值：

1/111, 1/222, 1/333, 1/444, 1/555, 1/666, 1/777, 1/888, 1/999, 1/1000, 1/1110, 1/1111, 1/1112, 1/1113, 1/1114, 1/1115, 1/1116, 1/1117, 1/1118, and 1/1119

我想自己编写程序来解决这个问题，然而，没有处理过Calc II，我不得不阅读Divergence / Convergence。所有解释都涉及可以用公式表示的系列。据我所知，这个系列不能。

所以，问题是：

是否有表示此系列的公式，或者是否有一种方法可以在没有公式的情况下找到此系列的收敛？

Answer 1

以防任何人考虑暴力破解：

蛮力方法将在这里，就像大多数编号较高的Project Euler问题一样，不会在合理的时间内完成。

假设您的计算机每秒可以处理10个⁹数字（实际上它可以处理的数量远远少于）。要将n > 9的有效项加起来为10 ⁿ，需要大约10 ^n-9秒。

你需要多远才能确定小数点后十位的总和？

足够远，所有较大有效项的总和小于10 ^-10。 10 ¹²是否足够远？不。考虑来自

的下一千个数字

1001001001001

其中的无效数字是

1001001001110
1001001001111
1001001001112
...
1001001001119
1001001001222
1001001001333
1001001001444
...
1001001001999
1001001002000

那些是19，所以有981个有效数字，相应的总和大于981/1001001002000，大于9 * 10 ^-10。沿着这些方向进行进一步推理表明，你必须蛮力远高于10 ¹⁵ - 事实上，你必须超过10 ²⁰⁰⁰剩余的有效期限小于10 ^-10。

在宇宙开始时开始的蛮力甚至还远远不能接近可靠的答案。

Answer 2

如果你仔细阅读这个问题，你会注意到实际上有一个公式。您正在处理的序列是一个谐波序列，从中删除了具有3个或更多相等连续数字的术语。这里的蛮力方法是对谐波系列的所有项进行求和，省略指定的项，直到达到所需的精度。具有Rational类的Ruby似乎是非常好的候选者。

Answer 3

针对这个问题的天真和蛮力方法是编写循环迭代系列的分母，并将分母的倒数加到总和中，因为它不会被问题描述中规定的限制排除。

大纲与此类似：

for i in (1..1200)
  if is_valid(i) then
    sum += 1.0 / i
  end
end

def is_valid(_i)
  # implement the check here. hint: use modulo operator ;-)
end

项目欧拉＃368（数学公式）

3 个答案: